Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Puits quantique à une dimension

Puits quantique à une dimension de profondeur finie

Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur $\;U_{0}\;$ et de largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ suivant l'abscisse $\;x$

     On considère une particule de masse $\;m\;$ décrite par une fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ dont le diagramme en fonction de l'abscisse $\;x\;$ de la position est représenté ci-contre.

     Dans un 1^er temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à $\;U_{0}\;$ $\;{\big (}$diagramme ci-contre${\big )}$.

Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule

     Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension suivie par la particule.

     Préciser l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule.

Solution

     L'équation de Schrödinger suivie par une particule massique non relativiste dans un champ d'énergie potentielle $\;U(M,\,t)\;$ s'écrit dans le cas général «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!\!M}(M,\,t)\;$» ;      dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que le champ d'énergie potentielle sont à une dimension,
     dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que ce dernier étant indépendant du temps soit «$\;U(M,\,t)=U(x)\;\;\forall \;t\;$», l'équation de Schrödinger se réécrit «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}{\underline {\psi }}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}(x,\,t)+U(x)\;{\underline {\psi }}(x,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!\!x}(x,\,t)\;$».      L'opérateur hamiltonien de la particule est, dans le cas présent «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=\left\lbrace -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}+U(x)\times \right\rbrace \!\left[\;\right]\;$».

 

Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule

     Expliquer physiquement la signification de l'équation de Schrödinger suivie par la particule ainsi que
     Expliquer physiquement la signification de la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$.

Solution

     L'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique dans le cas non relativiste, c'est elle qui permet de décrire l'évolution à la fois temporelle et spatiale de la fonction d'onde ;

     $\succ \;$en mécanique quantique la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ est le pendant du couple « position - quantité de mouvement » $\;\left(x\,,\,p_{x}\right)\;$ de la mécanique classique, l'équation de Schrödinger remplaçant la r.f.d.n. ;

     $\succ \;$en mécanique classique la connaissance des forces s'exerçant sur la particule avec celle du couple « position - quantité de mouvement » initiales $\;\left(x_{0}\,,\,p_{x,\,0}\right)\;$ permet de déterminer l'évolution temporelle du couple « position - quantité de mouvement » $\;\left(x_{t}\,,\,p_{x,\,t}\right)$,

     $\color {transparent}{\succ }\;$en mécanique quantique la connaissance du champ d'énergie potentielle dans laquelle baigne la particule avec celle de la fonction d'onde initiale $\;{\underline {\psi }}(x,\,0)\;$ permet de déterminer l'évolution temporelle de la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ à un facteur de phase près ;

     $\succ \;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier la façon dont l'onde de matière associée à la particule se répartit dans l'espace à un instant donné ainsi que
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier l'évolution de cette répartition en fonction du temps,
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;$» ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire le module carré de la fonction d'onde doit être de carré sommable, plus exactement, dans la mesure où la particule existe,
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire sa probabilité de présence sur tout l'axe $\;x'x\;$ doit être égale à $\;1\;$ soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;dx=1\;$» ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer toutes les valeurs moyennes utiles comme
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer celle de la position sur l'axe $\;x'x\;$ à l'instant $\;t\;$ égale à
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer «$\;\left\langle x\right\rangle (t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\;\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;dx\;$».

 

Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps

     Sachant que l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ ?

     En déduire l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps.

Solution

     Dans la mesure où l'opérateur hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=\left\lbrace -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}+U(x)\times \right\rbrace \!\left[\;\right]\;$ est indépendant du temps, on peut rechercher la solution de l'équation de Schrödinger «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\psi }}\right]\!(x,\,t)=$ $i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!\!x}\!\left[{\underline {\psi }}\right]\!(x,\,t)\;$» sous la forme d'un produit de fonctions de variables séparées c'est-à-dire «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)={\underline {\Psi }}(x)\;{\underline {f}}(t)\;$» ce qui conduit à «$\;\left\lbrace {\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)\right\rbrace {\underline {f}}(t)={\underline {\Psi }}(x)\left\lbrace i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)\right\rbrace \;$» et permet de séparer les variables en divisant les deux membres par $\;{\underline {\Psi }}(x)\;{\underline {f}}\;$ soit, après simplification évidente dans chaque membre, «$\;{\dfrac {{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)}{{\underline {\Psi }}(x)}}={\dfrac {i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)}{{\underline {f}}(t)}}\;$» ;

     sachant que la seule fonction qui soit à la fois une fonction de $\;x\;$ seule et une fonction de $\;t\;$ seule, $\;{\big (}x\;$ et $\;t\;$ étant des variables indépendantes${\big )}$, est la fonction constante et
     notant $\;{\underline {\alpha }}\;$ cette valeur constante a priori arbitraire,
     sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}(x)\\i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)={\underline {\alpha }}\;{\underline {f}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dont la 1^ère gère la partie spatiale de la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ avec la position $\;x\;$ et
     sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}(x)\\i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)={\underline {\alpha }}\;{\underline {f}}(t)\end{array}}\right\rbrace }\;$ dont la 2^ème la partie temporelle de la fonction d'onde $\;{\underline {f}}(t)\;$ avec le temps $\;t$ ;

     la forme normalisée de la 2^ème équation $\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en $\;{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « solution $\;{\underline {f}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;t\right)\;$» et
     la forme normalisée de la 2^ème équation $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0}\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « celle-ci $\;{\big (}$compte-tenu du fait que le champ d'énergie potentielle est indépendant du temps${\big )}\;$ devant correspondre à une probabilité de présence indépendante du temps, le module de $\;{\underline {f}}(t)\;$ doit aussi en être indépendant, ce qui nécessite que $\;{\underline {\alpha }}\;$ soit réel ;
     la forme normalisée de la 2^ème équation $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0}\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « on pose donc $\;{\underline {\alpha }}=E\;\in \;\mathbb {R} \;$ ${\big (}$chaque valeur de $\;E\;$ définissant une énergie possible de la particule${\big )}\;$ et la partie temporelle de la fonction d'onde se réécrit «$\;{\underline {f}}(t)=\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$» ;

     en introduisant la grandeur $\;E\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)=E\;{\underline {\Psi }}(x)\;$»
     en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit $\;{\big (}$équation aux valeurs propres de l'opérateur hamiltonien${\big )}\;$ ou encore,
     en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}}{dx^{2}}}(x)+U(x)\;{\underline {\Psi }}(x)=E\;{\underline {\Psi }}(x)\;$»
        en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien $\;{\big (}$équation de Schrödinger indépendante du temps${\big )}$.

 

Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

     Expliquer pourquoi résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps.

Solution

     Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes las valeurs propres $\;E_{n}\;$ de l'opérateur hamiltonien ainsi que
         Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes les fonctions propres $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ associées,

     à chaque « état propre $\;\left[E_{n}\,;\,{\underline {\Psi }}_{n}(x)\right]\;$» on peut définir la « fonction d'onde associée dépendante du temps $\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)={\underline {\Psi }}_{n}(x)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» $\Rightarrow$
     à chaque « état propre $\;\color {transparent}{\left[E_{n}\,;\,{\underline {\Psi }}_{n}(x)\right]}\;$» on connaît un ensemble de discret générateur de n'importe quelle fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps ;

     à chaque fonction d'onde particulière dépendante du temps construite à partir d'un état propre de l'hamiltonien correspondant à une « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,{\cancel {t}})=\vert {\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)\vert ^{2}=$ $\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}\;$» indépendante du temps définit un état stationnaire de la particule ;

     supposons que l'on connaisse la décomposition initiale de la fonction d'onde sur l'ensemble des états stationnaires de la particule par exemple «$\;{\underline {\psi }}(x,\,0)=$ $\sum \limits _{n}{\underline {a}}_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ avec $\;{\underline {a}}_{n}\;\in \;\mathbb {C} \;$»
     supposons que l'on déduit, du caractère linéaire de l'équation de Schrödinger dépendante du temps, la fonction d'onde à un instant $\;t\;$ quelconque «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)=\sum \limits _{n}{\underline {a}}_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$».

 

Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

     Le potentiel $\;U(x)\;$ étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ ?

Solution

     Considérant un puits quantique de profondeur $\;U_{0}\;$ et de largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ plus exactement «$\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\;{\text{ si }}x\geqslant {\mathfrak {a}}\\\;0\;\;{\text{ si }}0<x<{\mathfrak {a}}\\U_{0}\;{\text{ si }}x\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$», c'est-à-dire constant par morceaux,
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit l'équation de Schrödinger indépendante du temps réécrite sous forme normalisée
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}}{dx^{2}}}(x)-{\dfrac {2\;m}{\hbar ^{2}}}\left[U(x)-E\right]{\underline {\Psi }}(x)=0\;$» c'est-à-dire
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit une équation différentielle linéaire à cœfficient constant par morceaux du 2^ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ homogène sans 1^er ordre,
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit une équation différentielle linéaire dont la résolution se discute selon la valeur de $\;E$ :

• si «$\;E\in \left]0,U_{0}\right[\;$», la solution par morceaux est de forme suivante «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \,\exp(-K\,x)\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\delta \,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\;m\;(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
• si «$\;E\in \left]U_{0},+\infty \right[\;$», la solution par morceaux est de forme suivante «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\;$ » ;
• si «$\;E\in \left]-\infty ,0\right[\;$», il y a absence de solution conforme au résultat de la mécanique classique.

 

Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits

     Il est possible de montrer que, pour satisfaire l’équation de Schrödinger indépendante du temps, la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ doit être continue ; de la même façon,

     il est possible de montrer que, dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie, la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}}{dx}}(x)\;$ est aussi continue.

     On se place dans le cas où l'énergie $\;E\;$ est toujours inférieure à la profondeur du puits $\;U_{0}$.
     En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde aux barrières d'énergie potentielle ainsi que
     En écrivant les conditions de continuités des morceaux de leur dérivée spatiale 1^ère, puis
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : $m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$, $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;{\text{ou}}\;2\,nm$, $\;U_{0}=1\,eV\;$ et on rappelle
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : la constante réduite de Planck $\;\hbar =1,056\,10^{-34}\,J\cdot s\;$.

Solution

     Nous avons vu précédemment que, pour $\;E\in \left]0,U_{0}\right[$, la solution par morceaux est de forme $\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \,\exp(-K\,x)\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\delta \,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace$ ; ces morceaux de la solution, ainsi que leur dérivée spatiale 1^ère, doivent être continus et la solution globale doit vérifier la condition de normalisation, l'application de ces cinq conditions permet de déterminer les quatre constantes ainsi que les valeurs possibles de $\;E\;$ c'est-à-dire la condition de quantification de l'énergie.

     Continuités en $\;x=0$ :

• $\;\Psi (0^{-})=\Psi (0^{+})\;$ s'explicite en $\;\delta =\beta \;$ et
• $\;{\dfrac {d\Psi }{dx}}(0^{-})={\dfrac {d\Psi }{dx}}(0^{+})\;$ conduit à $\;K\,\delta =k\,\alpha$,

d'où «$\;\delta =\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}=\alpha \,{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}-E}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$».

     Continuités en $\;x=a$ :

• $\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=\Psi ({\mathfrak {a}}^{+})\;$ s'explicite en $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\gamma \,\exp(-K\,{\mathfrak {a}})\;$ et
• $\;{\dfrac {d\Psi }{dx}}({\mathfrak {a}}^{-})={\dfrac {d\Psi }{dx}}({\mathfrak {a}}^{+})\;$ conduit à $\;k\,\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})-k\,\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=-K\,\gamma \,\exp(-K\,{\mathfrak {a}})$,

     Continuités en $\;\color {transparent}{x=a}\;$ : d'où $\;\gamma =\left[\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$ d'une part et d'autre part $\;\gamma =\left[-\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\right]{\dfrac {k}{K}}\exp(K\,{\mathfrak {a}})$, soit, en égalant les deux expressions de $\;\gamma$, on obtient $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=-{\dfrac {k}{K}}\,\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {k}{K}}\,\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\;$ ou, $\;\alpha \left[\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=$ $\beta \left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\;$ soit finalement «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=\alpha \,{\dfrac {K\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+k\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=\alpha \,{\dfrac {{\sqrt {U_{0}-E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\sqrt {E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\sqrt {E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\sqrt {U_{0}-E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$»      Continuités en $\;\color {transparent}{x=a}\;$ : et, en reportant l'expression de $\;\beta \;$ en fonction de $\;\alpha \;$ on obtient $\;\gamma =\alpha \,\left[\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {K\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+k\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$ soit, en réduisant au même dénominateur et en procédant aux simplifications élémentaires «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {k}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})=\alpha \;{\dfrac {\sqrt {E}}{{\sqrt {E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\sqrt {U_{0}-E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;\;({\mathfrak {3}})\;$».

     Condition de quantification : Les relations $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ écrites respectivement selon «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\;$» et «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$»
     Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles si $\;{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=1\;$ ou $\;{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\;$ soit encore
     Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles si $\;2\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\left[{\dfrac {k}{K}}-{\dfrac {K}{k}}\right]\sin(k\,{\mathfrak {a}})\;$ et enfin $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})=$ ${\dfrac {2}{{\dfrac {k}{K}}-{\dfrac {K}{k}}}}={\dfrac {2\,k\,K}{k^{2}-K^{2}}}\;$ ou $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{E-(U_{0}-E)}}\;$ c'est-à-dire
     Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles avec la relation de quantification suivante «$\;\tan \!\left({\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\,{\mathfrak {a}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{2\,E-U_{0}}}\;$».

     Condition de quantification : Remarque : On peut transformer cette condition de quantification selon «$\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})=2\,X\;$ avec $\;X={\dfrac {k\,K}{k^{2}-K^{2}}}\;$» et
     Condition de quantification : Remarque : On peut transformer en utilisant $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=X\;$ $\Rightarrow$ «$\;X\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)+\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-X=0\;$» équation du 2^ème degré en $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\;$ de discriminant $\;\Delta =1+4\,X^{2}=$ $1+{\dfrac {4\,k^{2}\,K^{2}}{(k^{2}-K^{2})^{2}}}={\dfrac {(k^{2}+K^{2})^{2}}{(k^{2}-K^{2})^{2}}}\;$ et donc de solution «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {-1\pm {\dfrac {k^{2}+K^{2}}{k^{2}-K^{2}}}}{2\,{\dfrac {k\,K}{k^{2}-K^{2}}}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{solution positive }}\;\;{\dfrac {K}{k}}\\{\text{solution négative }}-{\dfrac {k}{K}}\end{array}}\!\!\right\rbrace \;$» ;

     Condition de quantification : Remarque : cette forme de relation de quantification n'est pas utilisée dans la résolution numérique qui suit.

     Résolution numérique de la condition de quantification : « En posant $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\,m\,U_{0}}}\,{\mathfrak {a}}}{\hbar }}\;$», les valeurs de $\;E\;$ acceptables sont solutions de «$\;\tan \!\left(\mu \,{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right){\dfrac {E}{U_{0}}}}}}{2\,{\dfrac {E}{U_{0}}}-1}}\;$» soit encore,
     Résolution numérique de la condition de quantification : « en définissant la variable $\;\xi ={\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}\;$», les valeurs de $\;E\;$ acceptables sont solutions de «$\;\tan \!\left(\mu \,\xi \right)={\dfrac {2\,\xi \,{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{2\,\xi ^{2}-1}}\;$» ;

     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace alors sur un même diagramme, en fonction de la variable $\;\xi ={\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}$, le graphe de $\;\tan \!\left(\mu \,\xi \right)\;$ et celui de $\;{\dfrac {2\,\xi \,{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{2\,\xi ^{2}-1}}$, les abscisses des points d'intersection nous donnant les valeurs de $\;\xi \;$ permises et par suite celles de $\;E\;$ autorisées ;

     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;$ on trouve $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times 1,6\,10^{-19}}}\times 10^{-9}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 5,11\;$ ${\big (}$voir 1^er diagramme ci-dessous à gauche${\big )}$ ;
     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}\;$ l'intersection nous donne deux valeurs d'énergie permises : «$\;E\simeq \left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\times (0,438)^{2}\simeq 0,192\,U_{0}\\U_{0}\times (0,840)^{2}\simeq 0,705\,U_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm\;$ on trouve $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times 1,6\,10^{-19}}}\times 2\,10^{-9}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 10,2\;$ ${\big (}$voir 2^ème diagramme ci-dessous à droite${\big )}$ ;
     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}\;$ l'intersection nous donne quatre valeurs d'énergie permises : «$\;E\simeq \left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\times (0,257)^{2}\simeq 0,066\,U_{0}\\U_{0}\times (0,511)^{2}\simeq 0,261\,U_{0}\\U_{0}\times (0,756)^{2}\simeq 0,572\,U_{0}\\U_{0}\times (0,971)^{2}\simeq 0,943\,U_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Diagramme pour déterminer la condition de quantification de l'énergie comprise entre $\;0\;$ et $\;U_{0}\;$ d'une particule dans un puits quantique de faible largeur

Diagramme pour déterminer la condition de quantification de l'énergie comprise entre $\;0\;$ et $\;U_{0}\;$ d'une particule dans un puits quantique de moyenne largeur

 

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits

     Préciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace $\;\left]-\infty \,;\,0\right]$, $\;\left[0\,;\,{\mathfrak {a}}\right]\;$ et $\;\left[{\mathfrak {a}}\,;\,+\infty \right[\;$ après les avoir normalisées globalement ?

Solution

     L'énergie $\;E\;$ considérée suivant la condition de quantification «$\;\tan \!\left({\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\,{\mathfrak {a}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{2\,E-U_{0}}}\;$», on peut exprimer la fonction d'onde par morceaux en fonction d'une seule constante d'intégration par exemple $\;\alpha \;$ en utilisant les relations précédemment établies entre les constantes d'intégration soit «$\;\beta =\alpha \;{\dfrac {k}{K}}\;$», «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {{\dfrac {k}{K}}\;\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$» et «$\;\delta =\beta =\alpha \;{\dfrac {k}{K}}\;$» ; on en déduit la solution sous la forme «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha \,{\dfrac {{\dfrac {k}{K}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\quad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad \;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\alpha$, à savoir «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{l}(x)\;dx=1\;$» avec la définition, par morceaux, de la densité linéique de probabilité de présence
     il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\color {transparent}{\alpha }$, à savoir «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x)=\left[\Psi (x)\right]^{2}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha ^{2}\,{\dfrac {{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp \!\left[-2\,K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha ^{2}\,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\;{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\alpha ^{2}\,{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\qquad \qquad \;\;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     la condition de normalisation se réécrit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx+\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp \!\left[-2\,K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,dx={\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\;$» soit

• pour la 1^ère intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\,dx={\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\left[{\dfrac {\exp(2\,K\,x)}{2\,K}}\right]_{-\infty }^{0}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$»,
• pour la 3^ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\exp \!\left[2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right]dx={\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\left[{\dfrac {\exp \!\left\lbrace 2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right\rbrace }{-2\,K}}\right]_{\mathfrak {a}}^{+\infty }={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {k}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$»,
  pour la 3^ème intégrale $\;\succ \;$nous allons simplifier le résultat de cette 3^ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1^ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2^ème, soit
  pour la 3^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 1^ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$ avec $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=$ ${\dfrac {\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}={\dfrac {\sin \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» et
  pour la 3^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 2^ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», $\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {-{\dfrac {k}{K}}}{-{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$ avec $\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=$ ${\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$»
  pour la 3^ème intégrale $\;\succ \;$soit finalement la même expression de 3^ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «$\;\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\exp \!\left[2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right]dx={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» et
• pour la 2^ème intégrale il convient tout d'abord de linéariser l'expression à intégrer après développement du carré $\;\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{\!2}=\sin ^{2}(k\,x)+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\cos ^{2}(k\,x)+2\,{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,x)\,\cos(k\,x)=$ ${\dfrac {1-\cos(2\,k\,x)}{2}}+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1+\cos(2\,k\,x)}{2}}+{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\;$ soit $\;\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{\!2}=$ ${\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,\cos(2\,k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\;$ d'où la réécriture de
  pour la 2^ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,\cos(2\,k\,x)\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\,dx=\left[{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,x+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,x)}{2\,k}}+{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {-\cos(2\,k\,x)}{2\,k}}\right]_{0}^{\mathfrak {a}}\;$» soit finalement «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}\;$»,
  pour la 2^ème intégrale $\;\succ \;$nous allons simplifier le résultat de cette 2^ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1^ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2^ème, soit
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 1^ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\left[1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=4\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\left[1-{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]}{\left[1+{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]^{2}}}=4\,k\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ ainsi que
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 1^ère condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}}\;$», $\;1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,\sin ^{2}(k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {\left[2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=8\,{\dfrac {\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}{\left[1+{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]^{2}}}={\dfrac {8\,k^{2}\,K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ d'où
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 1^ère condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}}\;$», «$\;{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,2\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {4\,k^{2}\,K}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}=$ ${\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {\left(k^{2}-K^{2}\right)^{2}+4\,k^{2}\,K^{2}}{K\,\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}{K\,\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» et
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 2^ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», $\;\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\left[1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=4\,{\dfrac {-{\dfrac {k}{K}}\,\left[1-{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]}{\left[1+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]^{2}}}=4\,k\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ ainsi que
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 2^ème condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}}\;$», $\;1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})=$ $2\,{\dfrac {\left[2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=8\,{\dfrac {\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}{\left[1+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]^{2}}}={\dfrac {8\,k^{2}\,K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ d'où
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 2^ème condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}}\;$», «$\;{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}\,{\overset {\cdots }{=}}\,{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$»
  pour la 2^ème intégrale $\;\succ \;$soit finalement la même expression de 2^ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» ;

     en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\;$» d'où le cœfficient $\;\alpha \;$ cherché choisi positif, «$\;\alpha ={\sqrt {\dfrac {K^{3}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}={\sqrt {K\,{\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\;$»,      en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$» d'où les cœfficients communs $\;\beta =\delta \;$ s'en déduisant aisément «$\;\delta =\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}={\sqrt {\dfrac {k^{2}\,K}{\left(k^{2}+K^{2}\right)\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\;$» ainsi que      en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$» d'où une 1^ère expression du cœfficient $\;\gamma \;$ «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$» expression que l'on va simplifier
en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente,
à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires
$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1^ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2^ème, soit      en ajoutant toutes les contributions $\;\triangleright \;$avec la 1^ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ soit, en utilisant la formule de trigonométrie «$\;\sin(a)\;\cos(b)-\sin(b)\;\cos(a)=\sin(a-b)\;$», «$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {\sin \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$» et
     en ajoutant toutes les contributions $\;\triangleright \;$avec la 2^ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», après une 1^ère factorisation par $\;-{\dfrac {K}{k}}\;$ dans $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\;$ dans le but de faire apparaître la condition de quantification à utiliser, on obtient $-{\dfrac {K}{k}}\,\left[-{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=$ $-{\dfrac {K}{k}}\,\left[\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=-{\dfrac {K}{k}}\,{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ soit enfin, en utilisant la formule de trigonométrie «$\;\cos(a)\;\cos(b)+\sin(a)\;\sin(b)$ $=\cos(a-b)\;$», «$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=-{\dfrac {K}{k}}\,{\dfrac {\cos \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=-{\dfrac {K}{k}}\;$»
     en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$» d'où une 2^ème expression du cœfficient $\;\gamma \;$ «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{\pm {\dfrac {K}{k}}}}=\pm \beta \;\exp(K\,{\mathfrak {a}})=\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$» ;      finalement la solution par morceaux s'écrit «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\{\sqrt {K\,{\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {E}{U_{0}-E}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\{\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,x)\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore,
     finalement la solution par morceaux s'écrit «$\;\Psi (x)={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\left\lbrace {\begin{array}{l}\pm \exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\left[{\sqrt {\dfrac {U_{0}-E}{E}}}\,\sin(k\,x)+{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}-E}}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\exp(K\,x)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire à l'intérieur du puits une « onde stationnaire » et, à l'extérieur de chaque côté du puits, une « onde évanescente ».

 

Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance a de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits

     Dans le cas où l'énergie $\;E\;$ de la particule est $\;<\;$ à la profondeur $\;U_{0}\;$ du puits d'énergie potentielle large de $\;{\mathfrak {a}}$, on définit le taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance$\;{\mathfrak {a}}\;$de chacune de ses frontières par «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}={\dfrac {\vert \Psi (-{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi (0)\vert ^{2}}}\;$ pour la transmission à gauche » et «$T_{}$