Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
Puits quantique à une dimension
modifierPuits quantique à une dimension de profondeur finie
modifierOn considère une particule de masse décrite par une fonction d'onde évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle dont le diagramme en fonction de l'abscisse de la position est représenté ci-contre.
Dans un 1er temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à [1] diagramme ci-contre .
Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule
modifierÉcrire l'équation de Schrödinger[2] à une dimension suivie par la particule.
Préciser l'hamiltonien de la particule[3].
dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que ce dernier étant indépendant du temps soit « », l'équation de Schrödinger[2] se réécrit
Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule
modifier Expliquer physiquement la signification de l'équation de Schrödinger[2] suivie par la particule ainsi que
Expliquer physiquement la signification de la fonction d'onde [5].
L'équation de Schrödinger[2] est l'équation fondamentale de la mécanique quantique dans le cas non relativiste, c'est elle qui permet de décrire l'évolution à la fois temporelle et spatiale de la fonction d'onde ;
en mécanique quantique la fonction d'onde est le pendant du couple « position - quantité de mouvement » de la mécanique classique, l'équation de Schrödinger[2] remplaçant la r.f.d.n[6]. ;
en mécanique classique la connaissance des forces s'exerçant sur la particule avec celle du couple « position - quantité de mouvement » initiales permet de déterminer l'évolution temporelle du couple « position - quantité de mouvement » ,
en mécanique quantique la connaissance du champ d'énergie potentielle dans laquelle baigne la particule avec celle de la fonction d'onde initiale permet de déterminer l'évolution temporelle de la fonction d'onde à un facteur de phase près ;
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier la façon dont l'onde de matière associée à la particule se répartit dans l'espace à un instant donné ainsi que
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier l'évolution de cette répartition en fonction du temps,
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la « densité linéique de probabilité de présence » ;
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire le module carré de la fonction d'onde doit être de carré sommable, plus exactement, dans la mesure où la particule existe,
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire sa probabilité de présence sur tout l'axe doit être égale à soit « » ;
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer toutes les valeurs moyennes utiles comme
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer celle de la position sur l'axe à l'instant égale à
la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer « ».
Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps
modifierSachant que l'hamiltonien de la particule[3] est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction [7] ?
En déduire l'expression de l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps[7].
Dans la mesure où l'opérateur hamiltonien [3] est indépendant du temps, on peut rechercher la solution de l'équation de Schrödinger[2] « » sous la forme d'un produit de fonctions de variables séparées c'est-à-dire « » ce qui conduit à « » et permet de séparer les variables en divisant les deux membres par soit, après simplification évidente dans chaque membre, « » ;
sachant que la seule fonction qui soit à la fois une fonction de seule et une fonction de seule, et étant des variables indépendantes , est la fonction constante et
notant cette valeur constante a priori arbitraire,
sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations dont la 1ère gère la partie spatiale de la fonction d'onde avec la position et
sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations dont la 2ème la partie temporelle de la fonction d'onde avec le temps ;
la forme normalisée de la 2ème équation étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1er ordre en homogène, admet pour « solution »[8] et
la forme normalisée de la 2ème équation étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1er ordre en homogène, admet pour « celle-ci compte-tenu du fait que le champ d'énergie potentielle est indépendant du temps devant correspondre à une probabilité de présence indépendante du temps, le module de doit aussi en être indépendant, ce qui nécessite que soit réel[9] ;
la forme normalisée de la 2ème équation étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1er ordre en homogène, admet pour « on pose donc chaque valeur de définissant une énergie possible de la particule et la partie temporelle de la fonction d'onde se réécrit « »[10] ;
en introduisant la grandeur précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit « »[11]
en introduisant la grandeur précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit équation aux valeurs propres de l'opérateur hamiltonien[3] ou encore,
en introduisant la grandeur précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien[3] « »
en introduisant la grandeur précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien équation de Schrödinger[2] indépendante du temps .
Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps
modifierExpliquer pourquoi résoudre l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps.
Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes las valeurs propres [12] de l'opérateur hamiltonien[3] ainsi que
Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes les fonctions propres associées[13],
à chaque « état propre » on peut définir la « fonction d'onde associée dépendante du temps »
à chaque « état propre » on connaît un ensemble de discret générateur de n'importe quelle fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger[2] dépendante du temps[14] ;
à chaque fonction d'onde particulière dépendante du temps construite à partir d'un état propre de l'hamiltonien[3] correspondant à une « densité linéique de probabilité de présence » indépendante du temps définit un état stationnaire de la particule ;
supposons que l'on connaisse la décomposition initiale de la fonction d'onde sur l'ensemble des états stationnaires de la particule par exemple « avec »
supposons que l'on déduit, du caractère linéaire de l'équation de Schrödinger[2] dépendante du temps, la fonction d'onde à un instant quelconque « ».
Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps
modifierLe potentiel étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction [15],[16] ?
Considérant un puits quantique de profondeur et de largeur plus exactement « », c'est-à-dire constant par morceaux,
Considérant un puits quantique de profondeur et de largeur on en déduit l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps réécrite sous forme normalisée
Considérant un puits quantique de profondeur et de largeur on en déduit « » c'est-à-dire
Considérant un puits quantique de profondeur et de largeur on en déduit une équation différentielle linéaire à cœfficient constant par morceaux du 2ème ordre en homogène sans 1er ordre,
Considérant un puits quantique de profondeur et de largeur on en déduit une équation différentielle linéaire dont la résolution se discute selon la valeur de :
Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits
modifierIl est possible de montrer que, pour satisfaire l’équation de Schrödinger[2] indépendante du temps, la fonction d'onde [21] doit être continue[22] ; de la même façon,
il est possible de montrer que, dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie[23], la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation [24] est aussi continue[22].
On se place dans le cas où l'énergie est toujours inférieure à la profondeur du puits .
En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde[21][16] aux barrières d'énergie potentielle ainsi que
En écrivant les conditions de continuités des morceaux de leur dérivée spatiale 1ère, puis
En écrivant la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis
En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : [25], , [26] et on rappelle
En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : la constante réduite de Planck[27] [28].
Nous avons vu précédemment que, pour , la solution par morceaux est de forme avec ; ces morceaux de la solution, ainsi que leur dérivée spatiale 1ère, doivent être continus et la solution globale doit vérifier la condition de normalisation, l'application de ces cinq conditions permet de déterminer les quatre constantes ainsi que les valeurs possibles de c'est-à-dire la condition de quantification de l'énergie.
Continuités en :
- s'explicite en et
- conduit à ,
Continuités en :
- s'explicite en et
- conduit à ,
Condition de quantification : Les relations et écrites respectivement selon « » et « »
Condition de quantification : Les relations et sont compatibles si ou soit encore
Condition de quantification : Les relations et sont compatibles si et enfin ou [30] c'est-à-dire
Condition de quantification : Les relations et sont compatibles avec la relation de quantification suivante « ».
Condition de quantification : Remarque : On peut transformer cette condition de quantification selon « avec » et
Condition de quantification : Remarque : On peut transformer en utilisant « » équation du 2ème degré en de discriminant et donc de solution « » ;
Condition de quantification : Remarque : cette forme de relation de quantification n'est pas utilisée dans la résolution numérique qui suit.
Résolution numérique de la condition de quantification : « En posant », les valeurs de acceptables sont solutions de « » soit encore,
Résolution numérique de la condition de quantification : « en définissant la variable », les valeurs de acceptables sont solutions de « » ;
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace alors sur un même diagramme, en fonction de la variable , le graphe de et celui de , les abscisses des points d'intersection nous donnant les valeurs de permises et par suite celles de autorisées ;
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec on trouve voir 1er diagramme ci-dessous à gauche ;
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec l'intersection nous donne deux valeurs d'énergie permises[31] : « ».
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec on trouve voir 2ème diagramme ci-dessous à droite ;
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec l'intersection nous donne quatre valeurs d'énergie permises : « ».
Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits
modifierPréciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace , et après les avoir normalisées globalement[32] ?
il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer , à savoir « »[33] avec la définition, par morceaux, de la densité linéique de probabilité de présence
il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer , à savoir « » ;
la condition de normalisation se réécrit « » soit
- pour la 1ère intégrale « »,
- pour la 3ème intégrale « »,
pour la 3ème intégrale nous allons simplifier le résultat de cette 3ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires pour la 1ère condition et pour la 2ème, soit
pour la 3ème intégrale avec la 1ère condition « », avec d'où « » et
pour la 3ème intégrale avec la 2ème condition « », avec d'où « »
pour la 3ème intégrale soit finalement la même expression de 3ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification « »[34] et - pour la 2ème intégrale il convient tout d'abord de linéariser l'expression à intégrer après développement du carré soit d'où la réécriture de
pour la 2ème intégrale « » soit finalement « »,
pour la 2ème intégrale nous allons simplifier le résultat de cette 2ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires pour la 1ère condition et pour la 2ème, soit
pour la 2ème intégrale avec la 1ère condition « », ainsi que
pour la 2ème intégrale avec la 1ère condition « », d'où
pour la 2ème intégrale avec la 1ère condition « », « » et
pour la 2ème intégrale avec la 2ème condition « », ainsi que
pour la 2ème intégrale avec la 2ème condition « », d'où
pour la 2ème intégrale avec la 2ème condition « », « »
pour la 2ème intégrale soit finalement la même expression de 2ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification « » ;
en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente,
à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires
pour la 1ère condition et pour la 2ème, soit
en ajoutant toutes les contributions avec la 2ème condition « », après une 1ère factorisation par dans dans le but de faire apparaître la condition de quantification à utiliser, on obtient soit enfin, en utilisant la formule de trigonométrie « », « »
en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit « » d'où une 2ème expression du cœfficient
finalement la solution par morceaux s'écrit « »[36] avec « » c'est-à-dire
Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance a de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits
modifierDans le cas où l'énergie de la particule est à la profondeur du puits d'énergie potentielle large de , on définit le taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance de chacune de ses frontières[37] par « pour la transmission à gauche » et «