Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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Exercices no20
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
Exo suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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Puits quantique à une dimension modifier

Puits quantique à une dimension de profondeur finie modifier

 
Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur   et de largeur   suivant l'abscisse  

     On considère une particule de masse   décrite par une fonction d'onde   évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle   dont le diagramme en fonction de l'abscisse   de la position est représenté ci-contre.

     Dans un 1er temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à  [1]  diagramme ci-contre .




Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule modifier

     Écrire l'équation de Schrödinger[2] à une dimension suivie par la particule.

     Préciser l'hamiltonien   de la particule[3].




Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule modifier

     Expliquer physiquement la signification de l'équation de Schrödinger[2] suivie par la particule ainsi que
     Expliquer physiquement la signification de la fonction d'onde  [5].

Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps modifier

     Sachant que l'hamiltonien   de la particule[3] est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction  [7] ?

     En déduire l'expression de l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps[7].

Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps modifier

     Expliquer pourquoi résoudre l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps.

Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps modifier

     Le potentiel   étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction  [15],[16] ?

Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits modifier

     Il est possible de montrer que, pour satisfaire l’équation de Schrödinger[2] indépendante du temps, la fonction d'onde  [21] doit être continue[22] ; de la même façon,

     il est possible de montrer que, dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie[23], la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation  [24] est aussi continue[22].

     On se place dans le cas où l'énergie   est toujours inférieure à la profondeur du puits  .
     En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde[21][16] aux barrières d'énergie potentielle ainsi que
     En écrivant les conditions de continuités des morceaux de leur dérivée spatiale 1ère, puis
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes :  [25],  ,  [26] et on rappelle
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : la constante réduite de Planck[27]  [28].

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits modifier

     Préciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace  ,   et   après les avoir normalisées globalement[32] ?

Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance a de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits modifier

     Dans le cas où l'énergie   de la particule est   à la profondeur   du puits d'énergie potentielle large de  , on définit le taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance de chacune de ses frontières[37] par «  pour la transmission à gauche » et «  pour la transmission à droite »,   étant la fonction d'onde[21] de la particule au point d'abscisse   ;

     explicitez, en fonction des données du problème, chacun des taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance   de chacune de ses frontières et vérifiez qu'ils sont égaux ; commentez.

     Faire l'application numérique pour les deux largeurs de puits d'énergie potentielle précédemment introduites   et    on rappelle les autres valeurs numériques  [25],  [26] et  [28]  ; commentez.

Puits quantique à une dimension de profondeur infinie modifier

 
Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur infinie et de largeur   suivant l'abscisse  

     Dans un 2ème temps, on considère un puits d'énergie potentielle   de profondeur infinie[1] dont le diagramme en fonction de l'abscisse   de la position est représenté ci-contre.

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, en-deçà et au-delà des barrières modifier

     Que devient alors la fonction d’onde  [21] en-deçà et au-delà des barrières[38] ?







Conditions aux limites que doit satisfaire la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits modifier

     En utilisant le fait que la fonction d'onde  [21] doit être continue aux interfaces, c'est-à-dire en   et  , écrire les conditions aux limites que doit satisfaire  , solution de l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps à l'intérieur du puits.

Condition de quantification de l'énergie de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et expression de la partie spatiale de sa fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps modifier

     En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde  [21] solution de l'équation de Schrödinger[2] indépendante du temps à l'intérieur du puits d'énergie potentielle,
         En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde   déterminer la condition de quantification de l'énergie de la particule ;

     en utilisant la condition de normalisation de la fonction d'onde  [21], déterminer l'expression de  [16] à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et

         En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde   commenter les résultats.

     A.N. : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la constante de Planck[27]   :

  • un électron   dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur  [42],
  • un proton   dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur  [43],

     A.N. : déterminer, dans chaque exemple, l'écart entre les énergies du niveau fondamental et le 1er niveau excité puis

     A.N. : comparer à l'ordre de grandeur de l'écart de ces énergies dans un atome et dans un noyau.