Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

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Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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Chapitre no 19
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Chap. suiv. :Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste)

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Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique

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     À la grandeur « énergie potentielle »   de la particule « quantique », on associe l'opérateur linéaire « énergie potentielle » « »,

     l'action de cet opérateur linéaire   sur la fonction d'onde   qui modélise l'état de la particule « quantique »
     l'action de cet opérateur linéaire   donnant la valeur   à l'énergie potentielle de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde  [1],

soit « ».

Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique

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     À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique    est la masse de la particule et
       À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique    sa quantité de mouvement non relativiste [2], on associe
     À l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » défini selon « » [3] soit   ou « » [4],

     l'action de cet opérateur linéaire   sur la fonction d'onde décrivant un état de la particule « quantique » non relativiste [5] pour lequel l'énergie cinétique est fixée
     l'action de cet opérateur linéaire   donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde particulière  [6], soit

« » ou l'équation aux dérivées partielles « » [4].

Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste

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Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique

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     La notion d'« hamiltonien » d'une particule classique a été introduite par William Rowan Hamilton [7] en   lors de la création de la mécanique hamiltonienne, qui est une reformulation de la mécanique lagrangienne créée par Joseph-Louis Lagrange [8] à partir de  , elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne  

Mécanique lagrangienne
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     Dans le cadre de la mécanique classique, le lagrangien   d'une particule  squelette de la mécanique lagrangienne  est une fonction de sa position  , de   et du temps  , toutes variables supposées indépendantes [9], défini par « » [10] ;

     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur   définie par « » [11]
     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur   est stationnaire sur la trajectoire [12], plus exactement
     à partir du lagrangien de la particule, on obtient d'abord les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] « »  voir l'établissement dans l'encart ci-dessous ,

     établissement des équations d'Euler-Lagrange [13], [8] : Envisageant une perturbation infinitésimale définie selon       avec   un infiniment petit d'ordre un et   une fonction vectorielle différentiable telle que   et
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : écrivant que l'action perturbée    l'action non perturbée  à l'ordre zéro en    c.-à-d. en annulant le terme d'ordre un en   de l'approximation linéaire de l'action perturbée  [14] dans le but de traduire le caractère stationnaire de l'action  soit   ou, en explicitant la dérivée de l'action perturbée par rapport à  , « » ;
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : or   ou, en explicitant les dérivées relativement à  ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : or   et, par report dans l'intégrale   on en déduit
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange :   puis, en permutant l'intégration et l'addition discrète  l'intégrale d'une somme de fonctions étant la somme des intégrales de chaque fonction ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange :  ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : les   dernières intégrales donnant chacune par i.p.p.  intégration par parties [15]      nullité du 1er terme car   d'où, en regroupant les termes de  ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange :     dont on déduit,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : « » [16] puis
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : par « lemme fondamental du calcul des variations (cas d'une intégrale simple et d'une fonction réelle) » [17] appliqué à chaque intégrale
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : « » c.-à-d. les équations d'Euler-Lagrange [13], [8].

     à partir du lagrangien de la particule, puis on déduit les équations du mouvement en explicitant les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] « » dans lesquelles «       » ainsi que « » d'où « » soit
     à partir du lagrangien de la particule, finalement l'équation vectorielle du mouvement de la particule « » [18] dans laquelle   est le vecteur accélération de la particule ou, en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive « » [19],
     à partir du lagrangien de la particule, finalement l'équation différentielle du 2ème ordre régissant le mouvement de la particule « ».

Mécanique hamiltonienne
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     En mécanique hamiltonienne la variable  [20] est remplacée par la variable    appelée « moment conjugué »  correspondant aux composantes «   »  appelées « moments conjugués » ou encore, quand les coordonnées   correspondent à des coordonnées cartésiennes, « impulsions » [21]  s'identifiant, en repérage cartésien, à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie [22] c.-à-d. «        en cartésien » ;

     l'hamiltonien   est la transformée de Legendre [23] du lagrangien   soit

« » [24], [25] et,

     dans le cas où la variable   correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer   par     « » ou encore
     dans le cas où la variable   correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer   par     « » [26] soit
     dans le cas où la variable   correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer   par     « » [27] ;

     de la différentielle de l'hamiltonien avec utilisation des équations d'Euler-Lagrange [13], [8] on tire les équations canoniques de Hamilton [7] « »  voir l'établissement dans l'encart ci-dessous ,

     établissement des équations canoniques de Hamilton [7] : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien « » [28] et
          établissement des équations canoniques de Hamilton : explicitant indépendamment cette dernière à partir de sa définition « »  
          établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle « »
          établissement des équations canoniques de Hamilton : soit, après simplification utilisant la définition du moment conjugué « », la réécriture de la différentielle de  ,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien « »,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient, en identifiant les deux expressions de la différentielle de l'hamiltonien, « 
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  »
          établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient les équations canoniques de Hamilton [7] par identification des cœfficients des éléments différentiels des variables indépendantes
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification des cœfficients de     les 1ères équations canoniques de Hamilton [7] « »,
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification des cœfficients de     « » et,
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification en utilisant les équations d'Euler-Lagrange [13], [8]     par définition de  ,
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification des cœfficients de     les 2èmes équations canoniques de Hamilton [7] « »,
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification des cœfficients de     « » et,
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification en utilisant « »  les équations d'Euler-Lagrange     se réécrivent avec la définition du moment conjugué       permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'hamiltonien déduite de sa définition selon       d'où
          établissement des équations canoniques de Hamilton :  identification des cœfficients de     la 3ème équation canonique de Hamilton [7] « » ;
          établissement des équations canoniques de Hamilton : finalement les équations canoniques de Hamilton [7] s'écrivent selon « ».

     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire des équations canoniques de Hamilton [7], dans la mesure où   correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie [29] :
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la définition de la quantité de mouvement de la particule   car «     » d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la définition de la quantité de mouvement la réécriture des 1ères équations canoniques de Hamilton [7] « »   « »,
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la relation fondamentale de la dynamique car «     » [30] d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la relation fondamentale de la dynamique la réécriture des 2èmes équations canoniques de Hamilton [7] « »   « » et
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la conservation de l'énergie mécanique de la particule si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps [31]  
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la conservation de l'énergie mécanique de la particule si « »   « » d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire  la conservation de l'énergie mécanique la réécriture de la 3ème équation canonique de Hamilton [7] « ».

Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste

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     En utilisant la forme de l'hamiltonien d'une particule non relativiste «   » [32] nous en déduisons
     En utilisant l'« opérateur linéaire hamiltonien » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir des opérateurs linéaires « énergie cinétique non relativiste » [33] et « énergie potentielle » [34],

soit « » [33], [34]   « » [4],

     l'action de cet opérateur linéaire   sur la fonction d'onde qui décrit un état stationnaire de la particule « quantique » non relativiste pour lequel l'énergie mécanique est fixée
     l'action de cet opérateur linéaire   donnant toutes les valeurs possibles d'énergie mécanique de « la particule en état stationnaire de composante spatiale de fonction d'onde  » [35], [36], soit

« » ou l'équation aux dérivées partielles « » [4].

Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste

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Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste

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     L'équation de Schrödinger [37] permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon

« » ou « »
se réécrivant, en explicitant les opérateurs linéaires, selon
« » [4].

Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps

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     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps,
     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule peut être dans un état stationnaire  voir la note « 35 » plus haut dans ce chapitre  et,
     Introduction : dans l'hypothèse où cette possibilité devient réalité, « la fonction d'onde de la particule   se met sous la forme d'un produit   avec   fonction réelle » [38].

     Exposé : L'équation de Schrödinger [37] d'une particule « quantique » dans un état stationnaire de fonction d'onde associée «  avec   fonction réelle » [38]
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » dans laquelle

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit  « » [39] et

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit  « » [40] d'où, par report

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » puis
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit après simplification par  , « » soit,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit en supposant   non identiquement nulle et en divisant chaque membre par  ,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » dans laquelle le 1er membre de l'équation étant une fonction de   et
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » dans laquelle le 2nd membre de l'équation étant une fonction de  ,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » dans laquelle ceci n'est possible que si la fonction commune à chaque membre est une fonction constante ;
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » dans laquelle notant   cette fonction constante nous obtenons less deux équations suivantes
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit « » ;

          Exposé : L'équation de Schrödinger  la 1ère équation « » s'intègre en «  avec   une constante réelle d'intégration » d'où la partie temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » dans un état stationnaire «  avec   une constante complexe d'intégration » ;

          Exposé : L'équation de Schrödinger  la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par  , « » appelée
          Exposé : L'équation de Schrödinger  la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par  , « équation de Schrödinger [37] indépendante du temps » ou,
          Exposé : L'équation de Schrödinger  la 2ème équation se réécrit, à l'aide de l'« opérateur linéaire hamiltonien » « » [41],
          Exposé : L'équation de Schrödinger  la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par  , « » représentant
          Exposé : L'équation de Schrödinger  la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par  , l'équation de recherche des états propres de l'« opérateur linéaire hamiltonien ».

     Conclusion : Dans le cas où l'énergie potentielle   de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps, cette dernière peut être dans un état stationnaire avec une fonction d'onde sous la forme forme « » dans laquelle   est une valeur propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de la particule c.-à-d. telle que « », la partie spatiale « » de la fonction d'onde étant une fonction propre associée à la valeur propre    ces valeurs propres   de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de la particule s'identifient aux valeurs possibles de l'énergie mécanique de cette dernière [42]  ;

     Conclusion : pour un niveau d'énergie   connu de la particule « quantique » dans un état stationnaire, la partie spatiale « » de la fonction d'onde de la particule est solution de l'« équation de Schrödinger [37] indépendante du temps »  équation aux dérivées partielles linéaire du 2ndordre  « ».

     Principaux résultats : Les valeurs de l'énergie de la particule « quantique » dans un état stationnaire peuvent être discrètes ou continues et
     Principaux résultats : à une valeur d'énergie fixée il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde  on dit dans ce cas que le niveau d'énergie est « dégénéré »  :

Principaux résultats : dans le cas où le spectre d'énergie  propre  est discret et « pour un niveau d'énergie  propre    non dégénéré  quantification des niveaux d'énergie, usuellement   pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde  propre  s'écrit  »  solution de l'équation de Schrödinger [37] indépendante du temps «   » , la fonction d'onde  propre  complète de la particule dans cet état stationnaire s'écrit «   » ;
Principaux résultats : dans le cas où le spectre d'énergie  propre  est discret et pour un niveau d'énergie  propre    dégénéré  le caractère « dégénéré » des niveaux d'énergie n'engendrant usuellement aucune modification sur leur quantification   pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde  propres  s'écrivent    la dégénérescence d'un niveau d'énergie entraînant l'intervention d'au moins un 2ème paramètre discret   usuellement   permettant de distinguer les parties spatiales des fonctions d'onde entre elles »  solutions indépendantes les unes des autres de l'équation de Schrödinger [37] indépendante du temps «   » , la fonction d'onde  propre  complète de la particule dans cet état propre   du niveau d'énergie dégénéré   s'écrivant «   », la fonction d'onde  propre  complète de la particule dans l'état stationnaire de niveau d'énergie dégénéré   est alors une C.L. [43] de chaque fonction d'onde  propre  complète correspondant à l'état propre   du niveau d'énergie dégénéré  [44] soit
« » où
le scalaire «  est l'amplitude de l'état stationnaire   sur l'état propre  » [45]
dont «  représente la probabilité de l'état propre   dans l'état  » [46].

Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien »

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     Dans le cas d'un spectre discret d'énergie  propre  de l'« opérateur linéaire hamiltonien » d'une particule « quantique » non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps
     Dans le cas d'un spectre discret d'énergie  chaque niveau d'énergie   étant considéré comme pouvant être dégénéré [47] 
      Dans le cas d'un spectre discret d'énergie avec, pour fonctions d'onde  propres  complètes de la particule dans les états  propres  correspondants «   »,
      Dans le cas d'un spectre discret d'énergie la fonction d'onde complète décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante

« » où
«  est l'amplitude de l'état décrit par   dans l'état propre  » [48],
«  étant la probabilité de trouver l'énergie   lors d'une mesure de l'énergie de la particule » [49].

Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique

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Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse   restant localisée au voisinage d'un point   sur un axe   et
     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse   possédant une énergie potentielle de forme parabolique  
     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » telle que l'« amplitude d'oscillations [50]   devant un ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie » [51] ;

     on réalise une réduction canonique en posant « » correspondant à sa pulsation propre [50] d'où une réécriture de l'énergie potentielle « » et par suite
           on réalise une réduction canonique en posant « » correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien [52] « » dans lequel l'énergie cinétique  non relativiste    s'écrit «    étant la grandeur conjuguée de  [53] » soit, après report dans l'expression de l'hamiltonien [52]
                 on réalise une réduction canonique en posant « » correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien « ».

Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques

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La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :
  • vibrations des atomes dans un solide : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un oscillateur harmonique unidimensionnel sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins  une façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliées par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive  ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique [54] ;
  • vibrations des atomes dans une molécule diatomique comme la molécule de chlorure d'hydrogène   : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver cette dernière, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes   et   ;
  •  

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel évoquée au chap.  intitulé oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ;

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel on peut effectivement s'y ramener car
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à l'étude du mouvement de son « C.D.I. [55] » [56] et
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre point  fictif  « le mobile réduit » [57] dans le « référentiel barycentrique » [58],
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre point de masse dite réduite « » dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet   par rapport à l'objet   s'il est soumis à la force que l'objet   exerce sur l'objet  [59]  c.-à-d., dans le cas présent, à l'action du ressort   
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on est ramené à l'étude d'un oscillateur harmonique unidimensionnel évoquée au chap.  oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps

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     À partir de l'expression de l'hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique [60] « »
     À partir de l'expression de l'hamiltonien établie dans le paragraphe « présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons
                À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » [61] de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique « » [4] ou
                     À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique « » d'où,

     À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger [37] indépendante du temps à laquelle satisfait cet oscillateur harmonique unidimensionnel quantique
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps « » avec
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «  la partie spatiale de la  ou de l'une des  fonction(s) d'onde de cet oscillateur d'énergie  », ou encore,
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps « » soit
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps une équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre en   sans terme du 1er ordre [62].

Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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     Un oscillateur harmonique unidimensionnel classique ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine   de l'axe » [63] ;

     nous allons déduire de l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre c.-à-d. soit dans un état quantique d'immobilité, en effet

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse   parfaitement déterminée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit   et
     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'autre part sa quantité de mouvement   exactement fixée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit  ,
     or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale c.-à-d. en contradiction avec « » 
          or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale d'où l'impossibilité théorique que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique soit à l'équilibre ;

     les valeurs d'énergies  propres  de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique étant a priori  [66], l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibre l'interdiction d'une valeur nulle  en effet, pour que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément   et  , ceci correspondant aussi à un état où simultanément   et   c.-à-d. un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] .

Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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     Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique c.-à-d.
                 Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie de son état fondamental ;
                 Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de pour cela on détermine les propriétés ci-dessous [67] :

  • oscillateur invariant par symétrie centrale de centre    énergie potentielle paire    valeur moyenne de sa position [50] « » soit une même probabilité [68] d'avoir la valeur   et   ;
    compte-tenu du lien [50] entre   et  [69], la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi « » [70] correspondant à une même probabilité [68] d'avoir la valeur   et   ;
  • l'écart quadratique moyen sur les valeurs [50] de   est donc « » [71], [72] ainsi que
       l'écart quadratique celui sur les valeurs [50] de   défini par « » [71], [72],
    l'écart quadratique moyen surces valeurs [68] «  et  » étant respectivement l'incertitude « quantique » [73] sur la position et la quantité de mouvement ;
  • l'énergie de l'oscillateur à valeur   fixée [50] s'identifie à sa valeur moyenne  [68] soit « » [71] ou encore, avec  ,
         l'énergie de l'oscillateur à valeur   fixée s'identifie à la valeur d'énergie   suivante « » [71] ;
  • l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] liant les deux incertitudes « quantiques » [73] selon « »   pour une incertitude « quantique » [73] sur la position fixée égale à  ,
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon « »   une valeur minimale de l'incertitude « quantique » [73] sur sa quantité de mouvement
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon « »   une valeur minimale « » soit,
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon « » en reportant dans l'expression de l'énergie ci-dessus «   »,
                l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » [74] de l'énergie   exprimée uniquement en fonction de l'incertitude « quantique » [73] sur la position « »
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » de l'énergie   « » ;
  • on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » [73] sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie  , valeur notée « »,
          on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie  ,   «   » [75]
          on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie  , avec « » dont
          on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie  , l'annulation donne « » [76] ;
  • la valeur minimale de l'expression optimale de l'énergie vaut donc « » soit finalement «   ».

     Conclusion : par utilisation de l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] on a obtenu un ordre de grandeur de l'énergie minimale d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique « »,
     Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, la meilleure méthode est celle de Dirac [77] signalée dans la note « 62 » plus haut dans ce chapitre, en particulier
     Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, on y établit celle de son énergie minimale, appelée « énergie du point zéro »  c.-à-d. l'énergie de l'état fondamental 
     Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, on y établit celle de son énergie minimale, qui vaut effectivement « » ;

     Conclusion : ce résultat n'est pas uniquement théorique, il explique entre autres, le fait que l'isotope   de l'hélium « » reste liquide aux températures proches de  [78].

Quantification (admise) de l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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Spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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     Nous avons déjà dit que la méthode de Dirac [77] signalée dans la note « 62 » plus haut dans ce chapitre permet d'établir [79] toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur ; on obtient

un spectre discret de niveaux d'énergie « » [80]
ou encore, à l'aide de la « fréquence propre de l'oscillateur  »,
le spectre discret de niveaux d'énergie « » [81].

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état fondamental » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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Diagramme de la fonction d'onde de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique en fonction du paramètre de position
c.-à-d. la « fonction propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » associée à la valeur propre d'énergie de l'état fondamental ».

     À l'« énergie de l'état fondamental  » correspond une “ seule ” [82] composante spatiale de fonction d'onde  choisie réelle [83] 
     À l'« énergie de l'état fondamental  » correspond « » [84] dont le diagramme en fonction de   est représenté ci-contre   étant une unité de longueur arbitraire et   une valeur particulière, homogène à  , pouvant être quelconque et choisie égale à   pour le tracé  :

     on peut vérifier que cette composante est normalisée en évaluant la probabilité de l'état fondamental sur tout l'espace «   » [85], [86] donnant lors son évaluation, en utilisant l'intégrale de Gauss [87] «   », le résultat attendu dans le cas d'une normalisation « » [88].

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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c.-à-d. la « fonction propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » associée à la valeur propre d'énergie de l'état de niveau  ».

     À l'« énergie de l'état du niveau   à savoir  » correspond une “ seule ” [89] composante spatiale de fonction d'onde  choisie réelle [83]  égale à
     À l'« énergie de l'état du niveau   à savoir  » correspond «   » [90], [91] dont les diagrammes de  , de   et de   en fonction de   sont représentés ci-dessous   étant une unité de longueur arbitraire et   une valeur particulière, homogène à  , pouvant être quelconque et choisie égale à 2 pour le tracé  :

En complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'« état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

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     La densité « linéique » [92] de probabilité de présence   est liée à la composante spatiale de la fonction d'onde par « » [86] ;
     ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état fondamental « » [86] et
  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 1er niveau excité « » [86],

     puis ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 2ème niveau excité « » [86],
  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 3ème niveau excité « » [86]  

     Remarques : on constate que « la densité linéique de probabilité de présence est grossièrement maximale pour  », ceci étant d'autant mieux vérifié que   est grand [93], « cette valeur remplaçant l'amplitude des oscillations de l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique » [94] ;

     Remarques : on pourrait vérifier que   n'est pas fonction propre de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement »     car  [95].

Notes et références

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  1. On peut donc affirmer que n'importe quelle valeur   est valeur propre de l'opérateur linéaire « énergie potentielle »   pour n'importe quelle fonction d'onde   décrivant l'état de la particule « quantique »,   étant alors la fonction propre associée à la valeur propre  .
  2. L'énergie cinétique d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en intensité contrairement à la quantité de mouvement qui donne des informations sur la direction et le sens  voir le paragraphe « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point (cinétique newtonienne) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .
  3. On rappelle l'expression de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » « », l'indice   signifiant que l'on dérive à   constant  voir le paragraphe « inuction de l'opérateur linéaire quantité de mouvement » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » .
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 et 4,5 L'opérateur linéaire « » définissant l'opérateur linéaire du 2ème ordre « laplacien » noté   voir le paragraphe « champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       en repérage cartésien le laplacien s'écrit « » voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. Action qui revient à prendre le laplacien de la fonction d'onde à un facteur multiplicatif près.
  6. Les valeurs d'énergie cinétique non relativiste sont donc les valeurs propres de l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste », les fonctions d'onde particulières décrivant l'état de la particule étant les fonctions propres associées.
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 et 7,11 William Rowan Hamilton (1805 - 1865) mathématicien, physicien et astronome irlandais connu pour sa découverte des quaternions mais a contribué aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre ; il est aussi connu comme l'inventeur de la mécanique hamiltonienne fondée sur un principe variationnel, le principe de moindre action.
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 et 8,6 Joseph-Louis Lagrange (1736 -1803) mathématicien, mécanicien et astronome français d'origine italienne, ayant jeté les bases du calcul variationnel à l'âge de   ans qui lui permirent d'achever   ans plus tard la construction de la mécanique analytique connue actuellement sous le nom de mécanique lagrangienne ; on lui doit beaucoup d'autres travaux dans le domaine des mathématiques, celui de la mécanique  mécanique des fluides  et celui de l'astronomie  problème des trois corps .
  9. La variable   n'étant, pour l'instant, pas considérée comme la dérivée temporelle de la position  il ne s'agit donc, pour l'instant, qu'une simple notation et non, a priori, la vitesse  ; toutefois les deux variables   et   sont supposées être des fonctions indépendantes du temps  , la 2ème variable devenant la dérivée temporelle de la 1ère  c.-à-.d la vitesse  pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.
  10. Dans laquelle   est l'énergie potentielle de la particule, le 1er terme devenant son énergie cinétique   dès lors que la variable   est interprétée comme sa vitesse.
  11. Qu'on notera simplement, en absence d'ambiguïté,  .
  12. C.-à-d. que l'« action » sur l'intervalle   ne varie pas à l'ordre un lors d'une perturbation infinitésimale des variables   et   relativement à leur valeur correspondant à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie soit,
    • pour la 1ère variable     étant la perturbation infinitésimale de la 1ère variable  et
    • pour la 2ème     étant la perturbation infinitésimale de la 2ème variable, dérivée temporelle de   de façon à ce que la 2ème variable devienne la vitesse si  ,
    •   étant l'infiniment petit d'ordre un et   une fonction vectorielle différentiable telle que    assurant que la trajectoire réellement suivie passe par les points extrêmes définis par   et  , la vitesse en ces points étant alors définie par   et  .
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 et 13,5 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ;
       en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  14. Voir le paragraphe « rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. Voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. En effet pour que la somme des   intégrales soit nulle pour toutes fonctions scalaires  , il faut que chaque intégrale le soit.
  17. Lemme admis.
  18. Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. Voir le paragraphe « énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  20. Laquelle s'identifie à la dérivée temporelle de la position c.-à-d. à la vitesse pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.
  21. Dans le cadre de la mécanique analytique  regroupant la mécanique lagrangienne et la mécanique hamiltonienne  elles sont encore appelées, quand les coordonnées   sont des coordonnées cartésiennes, « moments linéaires » pour souligner que ces variables ne sont pas associées à des coordonnées angulaires.
  22. En effet      .
  23. Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) mathématicien français fit d’importantes contributions à la statistique, à la théorie des nombres, aux algèbres abstraites et à l'analyse  en particulier sur les polynômes dits de Legendre  mais une grande partie de ses travaux fut finalisée par d'autres.
  24. Il s'agit en fait de l'opposé de la transformée de Legendre défini dans l'article transformation de Legendre de wikipedia, la raison étant qu'il n'y a pas de convention de signe dans le choix de la définition, la convention choisie dans l'article précitée aurait donné   et aurait été tout aussi licite.
  25. Avec cette convention de signe l'hamiltonien s'écrit encore « ».
  26. On rappelle la définition du lagrangien   dans laquelle on remplace   par  .
  27. L'hamiltonien s'identifie donc à l'énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle  si toutefois il représente un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie .
  28. Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » généralisable aisément à plus de deux variables indépendantes  
  29. Ce qui est le cas car, pour les établir, on a utilisé les équations d'Euler-Lagrange qui ont été déduites de l'application du principe de moindre action.
  30. En utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive « » voir les notes « 18 » et «19 » plus haut dans ce chapitre.
  31. C'est le cas le plus usuel, lequel nécessite que la force ne dépendant pas explicitement du temps soit conservative voir le paragraphe « 1ère définition d'une force conservative » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  32. Cette forme suppose que la particule a un mouvement réel sur la trajectoire réellement suivie c.-à-d. que son mouvement obéit au principe variationnel de la mécanique « le principe de moindre action » ce qui a pour conséquence les trois équations canoniques de Hamilton dont la 1ère rend le moment conjugué identique à la quantité de mouvement de la particule.
  33. 33,0 et 33,1 Voir le paragraphe « opérateur linéaire énergie cinétique non relativiste d'une particule quantique massique » plus haut dans ce chapitre.
  34. 34,0 et 34,1 Voir le paragraphe « opérateur linéaire énergie potentielle d'une particule quantique massique » plus haut dans ce chapitre.
  35. Pour qu'une particule non quantique ait une valeur constante de son hamiltonien, il est nécessaire que son énergie potentielle ne dépende pas explicitement du temps  3ème équation canonique de Hamilton , il s'en suit alors la conservation de l'énergie mécanique ;
       du point de vue quantique, dans la mesure où l'énergie potentielle de la particule ne dépend pas du temps, la particule peut être dans un état stationnaire c.-à-d. que le module de la fonction d'onde qui modélise l'état considéré ne dépend pas non plus du temps  la fonction d'onde   peut alors être cherchée sous la forme du produit d'une composante spatiale   et d'une composante temporelle de module unité   dont l'argument dépend de l'état stationnaire considéré, la composante spatiale   étant solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps  voir le paragraphe « recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps » plus loin dans ce chapitre , c.-à-d. « » ou « »    la composante spatiale   de la fonction d'onde associée à un état stationnaire est une fonction propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » associée à la valeur propre    la constance de l'hamiltonien d'une particule non quantique  et par suite la conservation de son énergie mécanique  devient, pour une particule « quantique » dans un état stationnaire, le fait que ce dernier est un état propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien », la valeur propre associée étant l'énergie de la particule  énergie restant constante hors influence extérieure .
  36. Dans la mesure où la particule est dans un état stationnaire, ses valeurs d'énergie mécanique non relativiste sont donc les valeurs propres de l'« opérateur linéaire hamiltonien », les fonctions d'onde décrivant l'état stationnaire de la particule étant les fonctions propres associées.
  37. 37,0 37,1 37,2 37,3 37,4 37,5 et 37,6 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique  connu sous le nom de mécanique ondulatoire  ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en   avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en   et connue sous le nom chat de Schrödinger.
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique : voir la note « 77 » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique.
  38. 38,0 et 38,1 Ce qui implique   effectivement indépendant du temps  dans la note « 35 » plus haut dans ce chapitre, «  est remplacé par  »  voir l'établissement de cette expression dans le corps de ce paragraphe  mais le caractère stationnaire de l'état de la particule nécessite simplement que   soit réel, cette forme particulière   résultant de la résolution de l'équation de Schrödinger .
  39.   restant constant lors de la prise de laplacien   à   figé.
  40.   restant constant lors de la dérivation partielle par rapport au temps   à   figé  voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la généralisation à plus de deux variables indépendantes ne présentant aucune difficulté apparente .
  41. Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire hamiltonien d'une particule quantique non relativiste » plus haut dans ce chapitre.
  42. Revoir la note « 36 » plus haut dans ce chapitre.
  43. Combinaison Linéaire.
  44. L'ensemble des     étant le degré de dégénérescence du niveau d'énergie   formant une base de l'espace propre associé au niveau d'énergie  .
  45. Il s'agit d'une façon raccourcie de dire « amplitude de l'état stationnaire décrit par la fonction d'onde   sur l'état propre décrit par  » ;
       chaque scalaire   est l'analogue de la composante sur un vecteur de base d'un vecteur d'un espace à   dimensions,   étant le degré de dégénérescence du niveau d'énergie considéré.
  46. Il s'agit d'une façon raccourcie de dire « probabilité de l'état propre décrit par la fonction d'onde   dans l'état de la particule décrit par la fonction d'onde  » ;
       pour des probabilités normalisées  quand cela est possible  la condition de normalisation s'écrit « »  certitude que la particule étudiée est dans le niveau d'énergie  .
  47. S'il est dégénéré, chaque état propre est indexé par un paramètre   et s'il ne l'est pas   ne prend que la valeur  .
  48. Il s'agit d'une façon raccourcie de dire « amplitude de l'état décrit par la fonction d'onde   sur l'état propre décrit par  » ;
       chaque scalaire   est l'analogue de la composante d'un vecteur quelconque sur un vecteur de base du sous-espace   à   dimensions   étant le degré de dégénérescence du niveau d'énergie  .
  49. Pour des probabilités normalisées  quand cela est possible  la condition de normalisation s'écrit « »  certitude de trouver une valeur lors de la mesure de l'énergie de la particule dans l'état décrit par la fonction d'onde  .
  50. 50,0 50,1 50,2 50,3 50,4 50,5 et 50,6 Au sens classique.
  51. Si   est l'amplitude d'oscillations  au sens classique  on a   avec    est l'amplitude de la quantité de mouvement   ;
       la longueur d'onde de de Broglie d'une onde de matière associée à une particule ne peut être définie sans ambiguïté relativement à la quantité de mouvement  classique    de la particule que si cette dernière est constante or, dans le cas d'un oscillateur harmonique unidimensionnel celle-ci serait, comme l'abscisse  , sinusoïdale selon   d'où l'impossibilité de définir la longueur d'onde de de Broglie mais, si l'amplitude des oscillations classiques de   est   de pulsation   nous en déduisons l'amplitude des oscillations classiques de   selon   d'où la condition pour que l'oscillateur harmonique unidimensionnel soit quantique   ou   ou encore, avec       la réécriture de la condition pour que l'oscillateur soit quantique   ou enfin une 3ème forme  .
        Louis Victor de Broglie (1892 - 1987)  se prononce « Brogle »  mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en  .
  52. 52,0 et 52,1 Qui s'identifie à l'énergie mécanique dans le cadre classique d'une particule.
  53. À signification de quantité de mouvement pour une particule classique.
  54. En effet nous avons précisé dans la note « 51 » plus haut dans ce chapitre que la condition pour que l'oscillateur soit quantique est que l'amplitude de vibrations satisfasse « » ou, avec   dans laquelle   est la fréquence de vibration, « » soit, avec   et  , «   », les atomes étant séparés de quelques   les uns des autres, l'amplitude de vibration devrait être   à une fraction de cette distance tout à fait envisageable.
  55. Centre D'Inertie.
  56. Notion introduite au paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » définissant le centre d'inertie comme le « barycentre des positions des points affectés de leur masse comme cœfficient »  voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  57. N'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais c'est pourtant fondamental dans l'étude des systèmes de deux points, lesquels sont au programme  voir le paragraphe « notion de mobile réduit » du chap.  de la leçon « Mécanique des systèmes de points » .
  58. Référentiel en translation par rapport au référentiel d'étude et tel que le C.D.I.  centre d'inertie  y soit immobile  voir le paragraphe « définition (du référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels) » du chap.  de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  59. Voir le paragraphe « recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M2 par rapport à M1 et conséquence » du chap.  de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  60. « Classique » au sens de « non quantique » et « non relativiste ».
  61. Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire hamiltonien d'une particule quantique massique non relativiste » plus haut dans ce chapitre.
  62. Cette équation n'étant pas à cœfficients constants, sa résolution ne relève pas de la recherche de solutions de forme exponentielle et par conséquent de la résolution de l'équation caractéristique correspondante ;
       de toute façon l'équation de Schrödinger étant un complément, nous ne chercherons pas à la résoudre, la résolution mathématique du type d'équation différentielle suivie par l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique serait d'ailleurs, hors de portée au niveau de la présentation, car nécessitant de connaître les développements de fonctions en séries entières, elle ne présente toutefois pas de difficultés majeures mais conduit à des calculs un peu laborieux ;
       d'autre part la méthode de résolution par développement en séries entières étant peu explicite physiquement, une autre approche, impulsée par Paul Adrien Maurice Dirac, lui est préférable, elle fournit les valeurs propres de l'« opérateur linéaire hamiltonien »    , c.-à-d. les valeurs d'énergie   sans résoudre explicitement l'équation différentielle.
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique : voir la note « 77 » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « 37 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  63. Une 2ème définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique c.-à-d. « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » est justifiée dans le paragraphe « rappel de l'intégrale 1ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et
       la propriété de « confinement spatial » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique établie dans le paragraphe « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » du même chap.  de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  64. 64,0 64,1 64,2 64,3 64,4 et 64,5 Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en   pour la création d'une forme de mécanique quantique  connue sous le nom de mécanique matricielle , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène  le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à   à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue .
  65. 65,0 65,1 65,2 65,3 et 65,4 Voir le paragraphe « induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  66. Comme c'est le cas pour un oscillateur harmonique unidimensionnel classique, l'énergie étant la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle toutes deux positives ou nulles.
  67. Pour les deux 1ères en restant dans le cadre de la mécanique classique puis en admettant leur validité dans le cadre de la mécanique ondulatoire.
  68. 68,0 68,1 68,2 et 68,3 Au sens quantique.
  69. On rappelle qu'en cinétique newtonienne  .
  70. L'invariance du mouvement par symétrie centrale entraînant  .
  71. 71,0 71,1 71,2 et 71,3 La notation   représentation la valeur moyenne pour une série de valeurs de la grandeur  , notation équivalente à  .
  72. 72,0 et 72,1 Voir le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expériences de diffraction appliquée à un photon » du chap.  de la leçon Signaux physiques (PCSI) », la généralisation à n'importe quelle particule quantique ne faisant sans restriction.
  73. 73,0 73,1 73,2 73,3 73,4 et 73,5 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
  74. Au sens où l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement est la plus faible, du point de vue théorique, relativement à l'incertitude quantique sur la position.
  75. L'expression optimale de l'énergie étant une fonction de   il suffit d'assurer la nullité de la dérivée par rapport à cette variable.
  76. L'expression optimale de l'énergie « » est effectivement minimale pour cette valeur « » car
       L'expression optimale de l'énergie « » est effectivement minimale la dérivée calculée « » est
    •   pour les valeurs de     à    elle tend vers   quand   donc   y est   et
    •   pour les valeurs de     à    elle tend vers   quand   donc   y est  .
  77. 77,0 et 77,1 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en  , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en   pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « 37 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
       Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
       Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le 1er français à obtenir la médaille Fields  équivalent du prix Nobel en mathématiques  en   pour ses travaux sur la théorie des distributions  sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité  .
  78. Au voisinage de   une approche classique conduirait à une énergie nulle avec absence de mouvements relatifs entre molécules et par suite une impossibilité de phase liquide à    l'absence de mouvements relatifs entre molécules  ou atomes  ne s'observant que dans une phase solide , ce qui n'est pas ce qu'on observe, d'où la nécessité de faire une approche quantique conduisant à une « énergie non nulle quand l'hélium   s'approche de  » et permettant l'explication de la phase liquide de ce dernier aux températures voisines de  .
  79. Néanmoins nous ne le ferons pas, bien que la construction du spectre des valeurs propres de l'énergie soit sans difficultés majeures  mais toutefois un peu délicate  pour les raisons suivantes :
    • d'une part leur établissement n'est pas au programme de physique de PCSI  seul le résultat  admis  l'étant  et
    • d'autre part c'est un peu long à détailler ;
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir le paragraphe l'« oscillateur harmonique quantique à une dimension » de wikipédia et plus précisément
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir les sous-paragraphes « introduction d'opérateurs sans dimension »   étant noté   dans ce sous-paragraphe ,
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir les sous-paragraphes « opérateurs d'échelle »  où est utilisée la notion d'opérateur hermitique  ou hermitien  et donc non-hermitique  ou non-hermitien   pour cela voir aussi la définition de l'opérateur adjoint d'un opérateur dans ce sous-paragraphe  ainsi que la notion de commutateur de deux opérateurs linéaires  voir la note « 41 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  et enfin le dernier sous-paragraphe
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir les sous-paragraphes « calcul des valeurs propres ».
       Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
  80. Il y a donc quantification de l'énergie, celle-ci dépendant du nombre quantique   entier naturel, le quantum étant  .
  81. Le quantum d'énergie se réécrit donc  .
  82. L'état fondamental n'est donc pas dégénéré.
  83. 83,0 et 83,1 Il s'agit effectivement d'un choix car seul son module a une signification physique  la multiplication par   avec   de la composante spatiale de la fonction d'onde   solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps « »   la composante spatiale de la fonction d'onde obtenue   est aussi solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps 
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « 37 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  84. Là encore, bien que la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique dans son état fondamental ne présente pas de difficultés majeures  tout en étant un peu délicate  nous ne la présenterons pas pour les raisons suivantes :
    • d'une part la résolution n'est pas au programme de physique de PCSI  même le résultat ne l'est pas, bien qu'intéressant à observer  et
    • d'autre part c'est un peu long à détailler ;
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir le paragraphe l'« oscillateur harmonique quantique à une dimension » de wikipédia et plus précisément
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir le sous-paragraphe « non-dégénrescence de l'état fondamental » nécessitant l'utilisation des « opérateurs d'échelle »  où est utilisée la notion d'opérateur hermitique  ou hermitien  et donc non-hermitique  ou non-hermitien   pour cela voir aussi la définition de l'opérateur adjoint d'un opérateur dans ce sous-paragraphe  ainsi que la notion de commutateur de deux opérateurs linéaires  voir la note « 41 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » .
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « 37 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
       Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français : voir la note « 79 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  85. Il s'agit d'une intégrale généralisée  voir le paragraphe « intégrale généralisée sur un ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  pour laquelle théoriquement on calcule l'intégrale sur   et on vérifie qu'elle admet une limite finie quand  , mais la fonction à intégrer ici n'admettant pas de primitives parmi les fonctions usuelles, cette façon de vérifier la convergence ne pourra être faite   toutefois elle converge ;
       on utilise alors le résultat de l'intégrale « » connue sous le nom d'« intégrale de Gauss », très utilisée en statistique et probabilité.
       Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps  il fut surnommé « le prince des mathématiciens »  : voir la note « 87 » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
  86. 86,0 86,1 86,2 86,3 86,4 et 86,5 Voir le paragraphe « notion de fonction d'onde de matière (densité volumique de probabilité de présence) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la densité volumique devant être remplacée par densité linéique dans le cas d'un objet à une dimension.
  87. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps  il fut surnommé « le prince des mathématiciens » , on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique » :
       en  , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone  polygone régulier de   côtés  soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en   la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en    un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple   ou   ou encore   de même que    Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne : voir la note « 13 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails  ;
       dans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en  , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès  une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter  ;
       dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme  James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur  ;
       certaines des contributions de Gauss n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.
  88. En effet  .
  89. L'état de niveau   n'est donc pas dégénéré.
  90. Là encore, bien que la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique dans l'état de niveau   ne présente pas de difficultés majeures  tout en étant un peu délicate  nous ne la présenterons pas pour les raisons suivantes :
    • d'une part la résolution n'est pas au programme de physique de PCSI  même le résultat ne l'est pas, bien qu'intéressant à observer  et
    • d'autre part c'est un peu long à détailler ;
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir le paragraphe l'« oscillateur harmonique quantique à une dimension » de wikipédia et plus précisément
       ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir le sous-paragraphe « états propres de l'opérateur N » nécessitant l'utilisation des « opérateurs d'échelle »  où est utilisée la notion d'opérateur hermitique  ou hermitien  et donc non-hermitique  ou non-hermitien   pour cela voir aussi la définition de l'opérateur adjoint d'un opérateur dans ce sous-paragraphe  ainsi que la notion de commutateur de deux opérateurs linéaires  voir la note « 41 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » .
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « 37 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
       Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français : voir la note « 79 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  91. Pratiquement   est obtenue, à un facteur multiplicatif près, en appliquant   fois successivement l'opérateur   à la composante spatiale de la fonction d'onde de l'état fondamental  , le facteur multiplicatif arbitraire de   pouvant être déterminé par normalisation de la fonction d'onde.
  92. Remplace la densité volumique pour un objet à une dimension.
  93. Voir les tracés ci-après de   et de    le cas   a été choisi comme suffisamment grand pour vérifier la propriété énoncée sans toutefois l'être trop sachant que « plus   est grand plus la durée nécessaire pour obtenir le tracé l'est » .
  94. En effet à cet endroit, l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique ayant une vitesse minimale  en fait nulle pour un oscillateur purement classique  c'est l'endroit où la probabilité de le trouver à un instant choisi au hasard est la plus grande ; c'est aussi l'endroit où sa quantité de mouvement est minimale  en fait nulle si l'oscillateur est purement classique  et sa longueur d'onde de de Broglie maximale  en fait infinie si l'oscillateur est purement classique , donc l'endroit où les phénomènes quantiques seront les plus apparents, la condition d'inobservation sur l'amplitude de   des phénomènes quantiques étant   ayant un risque quasi nul d'être réalisée  voir la note « 51 » plus haut dans ce chapitre .
       Louis Victor de Broglie (1892 - 1987)  se prononce « Brogle »  mathématicien et physicien français : voir la note « 51 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  95. La non proportionnalité de   à   assurant que   n'est pas fonction propre de  ,  s'il y avait eu proportionnalité, le cœfficient de proportionnalité aurait été la valeur propre correspondant à la fonction propre , on retrouve ainsi que la quantité de mouvement n'a pas de valeur fixée dans cet état.