Théorie des groupes/Théorème de Gaschütz

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Complément d'un sous-groupeModifier

Rappelons la définition d'un complément, qui a été donnée au chapitre Produit semi-direct :

Si G = HK, on a aussi G = KH (passer aux inverses, ou encore utiliser le fait, démontré dans la série Groupes, premières notions, que si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors HK = KH si et seulement si HK est un sous-groupe de G). Donc si K est un complément de H, H est un complément de K.

On vérifie facilement que K est un complément de H dans G si et seulement si K est une transversale droite (resp. gauche) de H dans G.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Démonstration. Voir exercices.

Argument de FrattiniModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Théorème de GaschützModifier

ÉnoncéModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


DémonstrationModifier

La démonstration qui suit est essentiellement celle que donnent Kurzweil et Stellmacher, qui en créditent G. Glauberman[1].

Notons tout d’abord que, puisque K est normal dans G, il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite modulo K. On peut donc parler d'éléments congrus entre eux modulo K. En revanche, puisque U n’est pas supposé normal dans G, il faut dire explicitement si on considère une classe à gauche ou à droite modulo U.

Démontrons la partie (a) de l'énoncé.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Démontrons maintenant la partie (b) de l'énoncé.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Forme faible du théorème de Schur-ZassenhausModifier


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Dans le chapitre suivant, on verra que le théorème de Schur-Zassenhaus reste vrai si on ne suppose pas K commutatif.

On trouvera dans les exercices du présent chapitre une autre démonstration de la forme faible (K commutatif) du théorème de Schur-Zassenhaus.

Notes et référencesModifier

  1. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 71, n. 13, et pp. 71-76.