Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Caractères généraux de la distribution des vitesses moléculaires d'un gaz

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Répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d’un gaz « parfait » : isotropie et homogénéité, cas d’un gaz « parfait » en équilibre thermodynamique

     Préliminaire : La répartition statistique des vecteurs vitesse présentée ci-après peut être étendue à d’autre gaz qu’un G.P., mais
     Préliminaire : l'exposé explicitant la pression $\;{\big [}$entre les paragraphes $\;{\big (}$inclus${\big )}\;$ « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par adsorption et désormption du gaz pendant une durée mésoscopique δt » et « généralisation, pression cinétique en tout point intérieur au G.P. en équilibre thermodynamique » plus loin dans ce chapitre${\big ]}\;$ n’est applicable $\;{\big (}$sans modification${\big )}\;$ qu’à un G.P..

Introduction

     Le gaz considéré est composé de molécules identiques « quasi ponctuelles », « sans interaction entre elles » $\;{\big [}$en absence d'interactions intermoléculaires, les seules interactions qu’une molécule peut avoir ce sont celles avec les parois limitant leur déplacement${\big ]}$ ;

     un gaz de molécules « quasi-ponctuelles », « sans interaction intermoléculaire » est qualifié de « parfait » $\;\ldots$

Répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d’un gaz « parfait »

     Préliminaires : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. explicitée ci-après est définie dans le référentiel d’étude où le gaz est globalement immobile, référentiel supposé galiléen.

     Préliminaires : Dans la suite de ce paragraphe, nous considérons un échantillon mésoscopique de $\;\delta N\;$ molécules de G.P. s'étendant sur une expansion tridimensionnelle de volume $\;\delta {\mathcal {V}}\;$ et
     Préliminaires : Dans la suite de ce paragraphe, nous notons $\;{\vec {V}}_{i}(t)\;$ le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, de la molécule $\;M_{i}\;$ pour $\;i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]$.

     Préliminaires : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. se caractérise par la donnée de « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$ $\;{\bigg (}\!$c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}\;$ dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\!{\bigg )}$, en fonction de $\;{\vec {V}}$, de $\;t\;$ et de $\;M\;$ le centre de l'échantillon mésoscopique » soit par la connaissance de «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\,,\,M\right)\;$».

     Propriétés : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est isotrope $\;{\big \{}$c'est-à-dire qu'elle est indépendante de la direction du vecteur vitesse de norme fixée $\Leftrightarrow$ « les directions du vecteur vitesse d'une molécule quelconque sont équiprobables »${\big \}}\;$ $\Rightarrow$ « la moyenne, à un instant $\;t\;$ quelconque, des vecteurs vitesse $\;{\vec {V}}_{j}(t)\;$ des molécules $\;M_{j}\;$ dont le vecteur vitesse est de norme $\;V(t)\;$ fixée $\;{\Big [}$le nombre de molécules de ce type étant noté $\;\delta N\!\left\lbrace V(t)\right\rbrace \;$ et la moyenne étant faite sur toutes les directions de l'espace${\Big ]}\;$ est nulle » «$\;{\Big \langle }{\vec {V}}_{j}(t){\Big \rangle }_{\,{\begin{array}{|c}\;\Vert {\vec {V}}_{j}(t)\Vert \,=\,V(t)\\\;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\left\lbrace V(t)\right\rbrace \right]\right]\end{array}}}={\dfrac {\sum \limits _{j\,=\,1}^{\delta N\left\lbrace V(t)\right\rbrace }{\vec {V}}_{j}(t)}{\delta N\!\left\lbrace V(t)\right\rbrace }}={\vec {0}},\;\;\forall \;V(t)\;$» ;
          Propriétés : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est isotrope cela se traduit par « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}$ ${\big (}$dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}{\big )}\;$ est indépendante des abscisses angulaires repérant le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'espace » soit «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left(\Vert {\vec {V}}\Vert \,,\,t\,,\,M\right),\;\;\forall \,\left(\theta _{\vec {V}}\,,\,\varphi _{\vec {V}}\right)\;$ repérant la direction de $\;{\vec {V}}\;$ dans l'espace » ;

     Propriétés : la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est homogène $\;{\big \{}$c'est-à-dire qu'elle est indépendante du centre${\underline {\;M\;}}$de l'échantillon mésoscopique${\big \}}$,
          Propriétés : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est homogène cela se traduit par « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. centré en $\;M\;$ et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}$ ${\big (}$dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ centré en $\;M{\big )}\;$ est indépendante de la position du centre $\;M\;$ de l'échantillon mésoscopique dans l'espace » soit «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right),\;\;\forall \;M\;$» ou encore, en tenant compte simultanément de l'homogénéité et de l'isotropie de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P., «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left(\Vert {\vec {V}}\Vert \,,\,t\right)\;$» ne dépendant que de $\;\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ et de $\;t$.

Propriété supplémentaire de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d’un gaz « parfait » en « équilibre thermodynamique »

     La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. en équilibre thermodynamique est stationnaire $\;{\big \{}$c'est-à-dire qu'elle est indépendante de l'instant${\underline {\;t\;}}$d'observation de l'échantillon mésoscopique${\big \}}$, cela se traduit par « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. centré en $\;M\;$ et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}$ ${\big (}$dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre, à l'instant $\;t$, de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ centré en $\;M{\big )}\;$ est indépendante de l'instant $\;t\;$ d'observation de l'échantillon mésoscopique dans l'espace » soit «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left({\vec {V}}\,,\,M\right),\;\;\forall \;t\;$» ou encore, en tenant compte simultanément de la stationnarité, de l'homogénéité et de l'isotropie de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P., «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left(\Vert {\vec {V}}\Vert \right)\;$» ne dépendant que de $\;\Vert {\vec {V}}\Vert$.

Notion de vitesse quadratique moyenne des molécules d’un gaz

     La « vitesse quadratique moyenne $\;{\big (}$à l'instant $\;t{\big )}\;$ des $\;\delta N\;$ molécules d'un échantillon mésoscopique de G.P. » notée «$\;V^{*}\!(t)\;$» est la « moyenne quadratique de la norme des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon $\;{\big (}$considérées à l'instant $\;t{\big )}\;$» c'est-à-dire encore telle que « son carré est la moyenne des carrés scalaires des vecteurs vitesse $\;{\big (}$à l'instant $\;t{\big )}\;$ de toutes les molécules de l'échantillon » ;
     notant $\;{\vec {V}}_{i}(t)\;$ le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, de la molécule $\;M_{i}\;$ pour $\;i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]$, la « vitesse quadratique moyenne $\;{\big (}$à l'instant $\;t{\big )}\;$ des molécules d'un échantillon mésoscopique de G.P. » se définit selon «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!i}^{2}\!(t){\Big \rangle }_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]}}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,\delta N}{\vec {V}}_{\!i}^{2}\!(t)}{\delta N}}}\;$» ou,
     en notant $\;\delta N({\vec {V}})\;$ la fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'échantillon mésoscopique, «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{\!j})\right\rbrace \!(t)\;{\vec {V}}_{\!j}^{2}\!(t)}{\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{\!j})\right\rbrace \!(t)}}}\;$» ou encore,
     avec $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N({\vec {V}})}{\delta {\mathcal {V}}}}\;$ la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle de volume $\;\delta {\mathcal {V}}$, la réécriture de la « vitesse quadratique moyenne $\;{\big (}$à l'instant $\;t{\big )}\;$ des molécules d'un échantillon mésoscopique de G.P. »

«$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}_{\!j}}(t)\;{\vec {V}}_{\!j}^{2}\!(t)}{\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}_{\!j}}(t)}}}\;$».

     Remarque : Compte-tenu du nombre excessivement grand des valeurs de vecteurs vitesse des molécules contenues dans tout échantillon mésoscopique, nous faisons usuellement une approximation des milieux continus consistant à remplacer les « valeurs discrètes de vecteurs vitesse $\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!j}\,\left[\delta N({\vec {V}}_{\!j})\right]\right\rbrace \;$ où $\;\delta N({\vec {V}}_{\!j})\;$ est la fréquence statistique de $\;{\vec {V}}_{\!j}\;$» par des « valeurs continues de vecteurs vitesse $\;\left\lbrace {\vec {V}}\,\left[\delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})\right]\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;\delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})$ $\;{\big (}$fréquence statistique de $\;{\vec {V}}\;$ à $\;d{\vec {V}}\;$ près${\big )}\;$ est une fonction continue de $\;{\vec {V}}\;$» soit,
     Remarque : en notant $\;\left(\Upsilon \right)\;$ le domaine vectoriel de l'espace des vitesses des molécules de l'échantillon mésoscopique «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})\right\rbrace \!(t)\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})\right\rbrace \!(t)}}}\;$» ou,

     Remarque : en introduisant la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle de volume $\;\delta {\mathcal {V}}\;$ dans l'approximation des milieux continus c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}={\dfrac {\delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})}{\delta {\mathcal {V}}}}\;$», «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}}}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)}}}\;$» ou encore,
     Remarque : en adoptant le repérage sphérique de l'espace des vitesses c'est-à-dire en notant «$\;\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$ les composantes sphériques de $\;{\vec {V}}\;$» et «$\;\left({\vec {u}}_{r_{V}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{V}}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi _{V}}\right)\;$ les vecteurs de la base sphérique de l'espace des vitesses » $\Rightarrow$ «$\;d{\vec {V}}=dV\;{\vec {u}}_{r_{V}}+V\;d\theta _{V}\;{\vec {u}}_{\theta _{V}}+V\;\sin(\theta _{V})\;d\varphi _{V}\;{\vec {u}}_{\varphi _{V}}\;$» ainsi que l'« élément de volume de l'espace des vitesses $\;d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}=V^{2}\;\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;dV\;$» dont nous pouvons déduire la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses dans l'échantillon mésoscopique c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}={\dfrac {N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}}{d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}}}\;$» s'exprimant en $\;m^{-3}\cdot \left(m\cdot s^{-1}\right)^{-3}\;$ et fonction de $\;\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$ ${\big [}$ainsi que de $\;t\;$ et de $\;M{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}}}}\;$» ce qui se réécrit selon «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;dV}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;dV}}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV\;d\Omega _{V}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV\;d\Omega _{V}}}}\;$» dans laquelle «$\;d\Omega _{V}=\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;$ est l'angle solide $\;{\big (}$algébrique${\big )}\;$ mesurant, dans l'espace des vitesses, l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par $\;\left(\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$ à $\;d\theta _{V}\;$ et $\;d\varphi _{V}\;$ près » ;

     Remarque : $\succ \;$si la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique est isotrope, la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;$» étant, en repérage sphérique de l'espace des vitesses, « indépendante de $\;\left(\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$», la « vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique » se réécrit selon «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V{\cancel {,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}}}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV\;d\Omega _{V}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V{\cancel {,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}}}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV\;d\Omega _{V}}}}\;$ $={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\,\left[\displaystyle \oiint \limits _{\text{espace entier}}d\Omega _{V}\right]\,dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\,\left[\displaystyle \oiint \limits _{\text{espace entier}}d\Omega _{V}\right]\,dV}}}\;$» $\;{\big [}(\Upsilon _{V})\;$ étant le domaine de valeurs de la norme du vecteur vitesse${\big ]}\;$ soit encore «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV}}}\;$» car «$\;{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{\text{espace entier}}d\Omega _{V}\\\end{array}}=4\;\pi \;sr\;$» ;

     Remarque : $\succ \;$si la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique est homogène en plus d'être isotrope, la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses «$\;N_{{\text{vol}},\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;$» étant « indépendante du point $\;M$, centre de l'échantillon », il en est de même de la « vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique » c'est-à-dire «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV}}}\;$ indépendante de $\;M\;$» ;

     Remarque : $\succ \;$si la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique est stationnaire en plus d'être homogène et isotrope, la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses «$\;N_{{\text{vol}},\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;$» étant « indépendante de l'instant $\;t\;$ d'observation », il en est de même de la « vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique » c'est-à-dire «$\;V^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}{\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;V^{4}\;dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;V^{2}\;dV}}}\;$ indépendante de $\;t\;$».

À titre « informatif », modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse »

     Préliminaire : À titre « informatif » car nous n'utiliserons pas le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » bien que ce soit ce dernier qui est explicité dans le programme de physique de P.C.S.I., mais l'employer nous éloignerait trop de la réalité alors que le modèle dont nous nous servirons reste abordable $\;{\big (}$même s'il est légèrement plus complexe${\big )}$ ; toutefois nous évoquerons, dans le paragraphe « établissement du gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par adsorption et désorption pendant une durée mésoscopique δt du G.P. en équilibre thermodynamique avec modélisation unidirectionnelle à distribution discrète de vitesse » plus loin dans ce chapitre, comment le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » peut conduire, de façon nettement moins convaincante, aux mêmes résultats.

     Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » suppose que le mouvement d'une molécule d'un échantillon mésoscopique se fait uniquement
     Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » suivant l'une des trois directions orthogonales «$\;x'x\,,\,y'y\,,\,z'z\;$» dans un sens ou le sens opposé,
     Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » à vitesse unique égale à la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$»
     Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » c'est-à-dire que le vecteur vitesse est nécessairement de la forme «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ou «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$».

     Remarque : Le nom donné à ce modèle est incorrect car « unidirectionnel » devrait être remplacé par « tridirectionnel » puisque trois directions sont admises et
     Remarque : Le nom donné à ce modèle est incorrect car « à distribution discrète de vitesse » par « à vitesse unique » puisque la norme de vecteur vitesse est choisie égale à la vitesse quadratique moyenne.

Notion d’adsorption et de désorption d’une particule de gaz par la paroi

Définition de l’adsorption (ou de la désorption) d’une molécule par une paroi

     Une « molécule $\;P\;$ est adsorbée par une paroi $\;\left(dS\right)\;$ à un instant $\;t_{0}\;$» si, à $\;t_{0}^{-}$, elle heurte la paroi avec une vitesse relative non nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}\!(t_{0}^{-})\neq {\vec {0}}\;$» et
     Une « molécule $\;\color {transparent}{P}\;$ est adsorbée par une paroi $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$» si elle y reste collée, c'est-à-dire si sa vitesse relative, à l'instant $\;t_{0}^{+}$, y est nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}(t_{0}^{+})={\vec {0}}\;$».

     Une « molécule $\;P\;$ est désorbée par une paroi $\;\left(dS\right)\;$ à un instant $\;t_{0}\;$» si, à $\;t_{0}^{-}$, elle est collée à la paroi, sa vitesse relative y étant nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}\!(t_{0}^{-})={\vec {0}}\;$» et
     Une « molécule $\;\color {transparent}{P}\;$ est désorbée par une paroi $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$» si, à $\;t_{0}^{+}$, elle en est éjectée avec une vitesse relative non nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}(t_{0}^{+})\neq {\vec {0}}\;$».

« En complément », théorème de la résultante cinétique sous sa forme intégrée appliqué à un système de matière

     Préliminaire : Nous avons vu, en complément, le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire appliqué à un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$ $\;{\big \{}$forme intégrée de la dynamique des points matériels associée à la forme locale r.f.d.${\big \}}\;$ dans le paragraphe « théorème de l'impulsion sous forme élémentaire » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »

«$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M}\;$» dans laquelle
«$\;d{\vec {p}}_{M}\;$ est la variation élémentaire de la quantité de mouvement de $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$»,
«$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$ les forces que les systèmes $\;(\Sigma _{k})\;$ exercent sur $\;M\;$» et
«$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\;$ l'impulsion élémentaire de la force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$»

Préliminaire : Nous avons vu, en compl ainsi que le théorème de l'impulsion sur une durée finie appliqué au même point matériel $\;M\;$ dans le même référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$ $\;{\big \{}$forme intégrée de la dynamique des points matériels associée à la forme locale r.f.d.${\big \}}\;$ dans le paragraphe « théorème de l'impulsion sur une durée finie » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »

«$\;\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\Delta {\vec {p}}_{M}\;$» dans laquelle
«$\;\Delta {\vec {p}}_{M}={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$ est la variation de la quantité de mouvement de $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$»,
«$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$ les forces que les systèmes $\;(\Sigma _{k})\;$ exercent sur $\;M\;$ à l'instant $\;t\,\in \,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$» et
«$\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\;$ l'impulsion de la force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$».

     Application à un système de points matériels : Bien que non traité dans le chap.$15$ intitulé « Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il existe une forme intégrée de la dynamique des systèmes fermés de points matériels associée à la forme locale “théorème de la résultante cinétique” applicable dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$, forme intégrée appelée “théorème de l'impulsion appliqué à un système fermé de points matériels” $\;{\big (}$ou simplement “forme intégrée du théorème de la résultante cinétique”${\big )}$ ;

     Application à un système de points matériels : $\succ \;$la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à un système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'établit en partant du théorème de la résultante cinétique appliqué à l'instant $\;t\;$ et en multipliant chaque membre par $\;dt\;$ d'où son énoncé
     Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$« dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, l'impulsion élémentaire de toutes les forces extérieures reçue par le système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ à savoir “$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=\sum _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;dt\;$” est égale à la variation élémentaire de sa résultante cinétique “$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t+dt)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$” » soit mathématiquement

«$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$» ;

     Application à un système de points matériels : $\succ \;$la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à un système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'établit en partant de la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et en intégrant chaque membre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où son énoncé
     Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$« dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, l'impulsion, sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$, de toutes les forces extérieures reçue par le système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ à savoir “$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;dt\right]\;$” est égale à la variation de sa résultante cinétique pendant la même durée “$\;\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t_{2})-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t_{1})\;$” » soit mathématiquement

«$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$».

     Application à un système de points matériels : $\succ \;$La forme intégrée du théorème de la résultante cinétique écrite sur un intervalle de temps élémentaire ou de durée finie dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'applique encore à un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion volumique, surfacique ou linéique ;
     Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique s'écrit, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, selon «$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$» dans laquelle «$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,dt\;$ est l'impulsion élémentaire du système des forces extérieures de densité volumique de force $\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}$, impulsion reçue par $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et «$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t+dt\right)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t\right)\;$ la variation élémentaire de $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$ c'est-à-dire de la résultante cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ définie selon $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;$ la densité volumique de quantité de mouvement » ;
     Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique s'écrit, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, selon «$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,dt\right\rbrace \;$ est l'impulsion sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ du système des forces extérieures de densité volumique de force $\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}$, impulsion reçue par $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et «$\;\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t_{2}\right)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t_{1}\right)\;$ la variation de $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$ sur le même intervalle de temps c'est-à-dire de la résultante cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ définie selon $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;$ la densité volumique de quantité de mouvement ».

     Remarques : Nous avons vu au paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériell (propriété) » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que
     Remarques : Nous avons vu « toute force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ de norme finie » a une « impulsion élémentaire $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\rightarrow {\vec {0}}\;$ quand $\;dt\rightarrow 0\;$» d'où
     Remarques : Nous avons vu « à l'ordre $\;0\;$ en $\;dt$, les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles »,

                Remarques : ainsi qu'au paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » du même chap.$15$ de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que
                Remarques : ainsi qu'« toute force $\;{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$ modélisable en utilisant un pic de Dirac d'impulsion unité étant discontinue de 2^ème espèce c'est-à-dire telle que $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\propto \delta (t-t_{0})\;$ ${\big (}t_{0}\;$ étant l'instant de la collision${\big )}\;$» a une « impulsion $\;{\vec {I}}_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\;$ de norme $\;\not \rightarrow 0\;$ quand $\;t_{0}^{+}-t_{0}^{-}\rightarrow 0\;$» $\;{\bigg \{}$plus précisément «$\;{\vec {I}}_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\right]$ $=I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\,{\vec {u}}\;$» dont $\;I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\;$ s'évalue en utilisant $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=A\;\delta (t-t_{0})\;$ ${\big (}A\;$ à déterminer${\big )}$, selon $\;I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}A\;\delta (t-t_{0})\;dt=A\;$ $\Rightarrow$ la « réécriture de $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ en fonction de $\;I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\;$ et du pic de Dirac d'impulsion unité centré en l'instant de collision $\;t_{0}\;$» selon «$\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\,\delta (t-t_{0})\;$»${\bigg \}}\;$ d'où
                Remarques : ainsi qu'« à l'ordre $\;0\;$ en $\;dt=t_{0}^{+}-t_{0}^{-}$, les impulsions des forces de collision sur $\;\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]\;$ sont de norme non nulle ».

« Gain de résultante cinétique » d’une portion de paroi élémentaire lors de l’adsorption d’une molécule de vecteur vitesse fixé

Schémas représentant une molécule $\;M_{a}\;$ juste avant et juste après son adsorption par une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$

     Préliminaire : L'étude de l'adsorption, à l'instant $\;t$, par une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, d'une molécule de vecteur vitesse d'agitation thermique $\;{\vec {V}}\;$ est faite dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ dans lequel le gaz est macroscopiquement immobile.

     Exposé : Soient «$\;m_{p}\;{\vec {V}}\;$ le vecteur quantité de mouvement de la molécule $\;M_{a}\;$» et «$\;{\vec {P}}_{dS}\;$ le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» considérés tous deux à l'instant $\;t^{-}\;$ c'est-à-dire juste avant l'adsorption de la molécule $\;M_{a}\;$ par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$voir le schéma de gauche ci-contre${\big )}$ ;

     Exposé : considérons une durée microscopique $\;\tau \;$ englobant l'instant $\;t\;$ d'adsorption de $\;M_{a}\;$ par $\;\left(dS\right)\;$ ${\big (}\tau \;$ pouvant être choisie aussi petite que possible${\big )}\;$ et notons «$\;{\vec {P}}_{dS}+\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t^{+}\;$» c'est-à-dire juste après l'adsorption, à l'instant $\;t$, de $\;M_{a}\;$ par $\;\left(dS\right)\;$ ${\big (}\tau \;$ étant égale à $\;t^{+}-t^{-}{\big )}$ $\;{\big \{}\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ représente donc le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption de la molécule $\;M_{a}\;$ à l'instant $\;t{\big \}}$ ;

     Exposé : étudiant l'ensemble «$\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ constitué de la molécule $\;M_{a}\;$ et de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ ${\big \{}$la durée microscopique $\;\tau =t^{+}-t^{-}\;$ englobant l'instant $\;t\;$ d'adsorption de $\;M_{a}\;$ par $\;(dS)\;$ est choisie suffisamment petite pour que seule $\;M_{a}\;$ soit adsorbée${\big \}}\;$ et
     Exposé : constatant que les forces extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sont toutes de norme finie nous en déduisons la nullité à l'ordre $\;0\;$ en $\;\tau \;$ de l'impulsion élémentaire de la résultante dynamique exercée sur $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ soit «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\simeq {\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ l'obtention de la variation élémentaire de la résultante cinétique de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ c'est-à-dire $\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$ en appliquant, à l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique sur $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$» d'où finalement «$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\simeq {\vec {0}}\;$» ou «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})-{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\simeq {\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\simeq {\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\;$» se réécrivant avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\!\!&=&\!\!{\vec {P}}_{dS}(t^{-})+m_{p}\;{\vec {V}}(t^{-})\\{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\!\!&=&\!\!{\vec {P}}_{dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\end{array}}\right\rbrace \;$ «$\;{\vec {P}}_{dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq {\vec {P}}_{dS}(t^{-})+m_{p}\;{\vec {V}}(t^{-})\;$» soit, après simplification évidente, le « gain de résultante cinétique » de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de l'adsorption de la molécule $\;M_{a}\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}(t^{-})\;$ ${\big [}$dernier vecteur vitesse avant l'adsorption à l'instant $\;t{\big ]}\;$

«$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq m_{p}\;{\vec {V}}(t^{-})\;$».

« Gain de résultante cinétique » d’une portion de paroi élémentaire lors de la désorption d’une molécule de vecteur vitesse fixé

Schémas représentant une molécule $\;M_{d}\;$ juste avant et juste après sa désorption par une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$

     Préliminaire : L'étude de la désorption, à l'instant $\;t$, par une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, d'une molécule de vecteur vitesse d'agitation thermique d'éjection $\;{\vec {V}}'\;$ est faite dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ dans lequel le gaz est macroscopiquement immobile.

     Exposé : Soit «$\;{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}\;$ le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» à l'instant $\;t^{-}\;$ c'est-à-dire juste avant la désorption de la molécule $\;M_{d}\;$ par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$voir le schéma de gauche ci-contre${\big )}$ ;

     Exposé : considérons une durée microscopique $\;\tau \;$ englobant l'instant $\;t\;$ de désorption de $\;M_{d}\;$ par $\;\left(dS\right)\;$ ${\big (}\tau \;$ pouvant être choisie aussi petite que possible${\big )}$, « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{d}\;$ juste après désorption étant $\;m_{p}\;{\vec {V}}'\;$» et « le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ juste après désorption noté $\;{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$» $\;{\big \{}$vecteurs quantité de mouvement de $\;M_{d}\;$ et résultante cinétique de $\;(dS)\;$ étant tous deux considérés à l'instant $\;t^{+}\;$ juste après la désorption, à l'instant $\;t$, de $\;M_{d}\;$ par $\;\left(dS\right){\big \}}\;$ ${\big (}\tau \;$ étant égale à $\;t^{+}-t^{-}{\big )}$ $\;{\big \{}\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$ représente donc le gain $\;{\big (}$au sens algébrique${\big )}\;$ de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ par désorption de la molécule $\;M_{d}\;$ à l'instant $\;t{\big \}}$ ;

     Exposé : étudiant l'ensemble «$\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ constitué de la molécule $\;M_{d}\;$ et de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ ${\big \{}$la durée microscopique $\;\tau =t^{+}-t^{-}\;$ englobant l'instant $\;t\;$ de désorption de $\;M_{d}\;$ par $\;(dS)\;$ est choisie suffisamment petite pour que seule $\;M_{d}\;$ soit désorbée${\big \}}\;$ et
     Exposé : constatant que les forces extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sont toutes de norme finie nous en déduisons la nullité à l'ordre $\;0\;$ en $\;\tau \;$ de l'impulsion élémentaire de la résultante dynamique exercée sur $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ soit «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\simeq {\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ l'obtention de la variation élémentaire de la résultante cinétique de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ c'est-à-dire $\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$ en appliquant, à l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique sur $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$» d'où finalement «$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\simeq {\vec {0}}\;$» ou «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})-{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\simeq {\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\simeq {\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\;$» se réécrivant avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\!\!&=&\!\!{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})\\{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\!\!&=&\!\!{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}+m_{p}\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\end{array}}\right\rbrace \;$ «$\;{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})\simeq {{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}+m_{p}\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\;$» soit, après simplification évidente, le « gain $\;{\big (}$au sens algébrique${\big )}\;$ de résultante cinétique » de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de la désorption de la molécule $\;M_{d}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\;$ ${\big [}$premier vecteur vitesse après l'désorption à l'instant $\;t{\big ]}\;$

«$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\simeq -m_{p}\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\;$».

Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption du gaz pendant une durée mésoscopique « δt »

Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption des molécules de vecteur vitesse fixé « adsorbables entre t et t + δt »

Positionnement, à l'instant $\;t$, des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ adsorbables, entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$

     Préliminaire : Nous supposerons que toutes les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ adsorbables entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ sont effectivement adsorbées.

     Exposé : Nous nous proposons de déterminer le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ fixé et adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ ${\big \{}\delta t\;$ étant une durée d'échelle mésoscopique${\big \}}$ $\;{\big [}$dans ce paragraphe nous ne considérerons aucune adsorption de molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;\neq {\vec {V}}\;$ ainsi que aucune désorption${\big ]}$ ;

     Exposé : nous supposons connue la densité volumique de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$, localisées dans le voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l’instant $\;t$, «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» $\;{\big \{}$dans le cas d'un G.P., cette densité volumique est « isotrope » $\;{\big [}$elle est indépendante de la direction de $\;{\vec {V}}{\big ]}$, « homogène » $\;{\big [}$elle est indépendante de l'élément de paroi $\;(dS){\big ]}\;$ et « stationnaire » si le G.P. est en équilibre thermodynamique $\;{\big [}$elle est indépendante de l'instant $\;t{\big ]}{\big \}}$ ;

     Exposé : notons «$\;{\overrightarrow {dS}}=dS\;{\vec {n}}\;$» le vecteur surface de la portion de paroi élémentaire orienté vers l’extérieur du récipient $\;{\big \{}dS\;$ étant l'aire de la surface et $\;{\vec {n}}\;$ le vecteur unitaire normal à la portion de paroi orienté du gaz vers l'extérieur${\big \}}$, le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ faisant avec le vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ l'angle $\;{\big (}$non algébrique${\big )}$ «$\;\alpha$ $={\widehat {\left({\vec {n}}\,,\,{\vec {V}}\right)}}\;$» aigu ;

     Exposé : les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ qui sont adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ se trouvaient, à l’instant $\;t$, dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ oblique, de « base $\;(dS)\;$», de « génératrices $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}\;\delta t\;$ et aboutissant aux points du contour de $\;\left(dS\right)\;$» $\;{\big (}$voir schéma explicatif ci-dessus à droite${\big )}$, le volume de ce cylindre oblique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}({\vec {V}}\,,\,t)=dS\;dh\;$» dans lequel $\;dh\;$ est la hauteur du cylindre égale à $\;V\;\delta t\;\cos(\alpha )\;$ d'où «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}({\vec {V}}\,,\,t)=dS\;V\;\delta t\;\cos(\alpha )={\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$» ;

     Exposé : nous en déduisons le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ à l'instant $\;t\;$ adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ «$\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}({\vec {V}}\,,\,t)\;$» soit finalement «$\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$» puis
     Exposé : nous en déduisons le « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ et adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de l'adsorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ ${\big [}$dernier vecteur vitesse avant l'adsorption${\big ]}\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq m_{p}\;{\vec {V}}\;$» d'où l'expression finale du « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ et adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$»

«$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\simeq N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$».

Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption de toutes les molécules « adsorbables entre t et t + δt »

     Pour déterminer le « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$», il faut « ajouter les contributions des molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ fixé, adsorbées pendant $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]$, en faisant la somme sur tous les vecteurs vitesse possibles » $\;{\big \{}$c'est-à-dire faire la somme sur toutes les « directions correspondant à une molécule adsorbable » et toutes les « normes possibles »${\big \}}$, d’où
     Pour déterminer le « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=$ $\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» soit finalement

«$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» avec
«$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$ la densité volumique de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$,
                    localisées dans le voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l’instant $\;t\;$».

Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par désorption des molécules de vecteur vitesse fixé « désorbables entre t et t + δt »

Positionnement, à l'instant $\;t+\delta t$, des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ désorbées, entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$

     Préliminaire : Nous supposerons que toutes les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ à l'instant $\;t+\delta t\;$ s'éloignant de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à une distance de celle-ci telle qu'elles aient été désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ ont effectivement été désorbées.

     Exposé : Nous nous proposons de déterminer le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t+\delta t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ fixé et désorbables par