Application linéaire/Propriétés générales

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Propriétés générales
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Chapitre no 2
Leçon : Application linéaire
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Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Injectivité, surjectivitéModifier

Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).

Début d’un théorème
Fin du théorème


Image d'une baseModifier

Une base   de   étant fixée, une application   est entièrement déterminée par la famille   de vecteurs de  . Plus précisément :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Par conséquent, toutes les propriétés de   doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par  . Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Propriétés de L(E, F)Modifier

À partir d'ici, le corps K des scalaires est supposé commutatif.

Structure d'espace vectorielModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.

Début d’un théorème
Fin du théorème


CompositionModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Linéarité des inversesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Structure d'algèbreModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


En particulier,   est un anneau unifère.