Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités

**Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités
Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Espace et temps classiques en cinématique newtonienne

Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne

Newton ^[1] postule $\;{\big (}$ de façon implicite ${\big )}\;$ le caractère absolu de l'espace :
Newton postule « l'espace existerait indépendamment de la matière et de l'énergie et servirait de cadre dans lequel se positionneraient ces derniers » ^[2] ;

       Newton il postule $\;{\big (}$ également de façon implicite ${\big )}\;$ le caractère absolu du temps :
       Newton il postule « selon lui, le temps préexiste à l'Univers, il " s'écoule " toujours dans le même sens et
       Newton il postule « selon lui, le temps préexiste à l'Univers, cet " écoulement " est indépendant de l'espace et du contenu de ce dernier » ^[3].

Référentiel d'espace

Un référentiel d'espace est un « solide » ^[4] de référence par rapport auquel on repère le point ;

Un référentiel d'espace pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace un repère d'espace
Un référentiel d'espace pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace ${\big (}$ c.-à-d. une origine et trois vecteurs de base ${\big )}$ .

Référentiel de temps

Un référentiel de temps est une « horloge » ^[5] de référence utilisée pour repérer l’événement ;

Un référentiel de temps pour quantifier le repérage de l’événement il faudra attacher au référentiel de temps un repère de temps $\;{\big (}$ c.-à-d. une origine des temps et une unité ^[6] ${\big )}$ .

Référentiel d'espace-temps

Le choix simultané des deux référentiels définit un « référentiel d'espace - temps » ^[7].

Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement

Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point

Décrire le mouvement d'un point c'est donner sa position relativement à son environnement aux différents instants successifs de son évolution ;

il faut donc préciser le référentiel d'espace relativement auquel la position du point est décrite et

il faut donc préciser le référentiel de temps relativement auquel les événements sont repérés, c.-à-d.

il faut donc préciser choisir un référentiel d'espace-temps appelé « référentiel d'étude $\;{\big (}$ ou d'observation ${\big )}\;$ ».

Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point

Pour décrire quantitativement le mouvement d'un point, on choisit

un repère d'espace $\;{\big \{}$ c.-à-d. une origine d'espace et une base orthonormée $\;{\big (}$ usuellement directe ^[8], l'espace étant supposé orienté à droite ^[9] ${\big )}{\big \}}\;$ lié à la composante d'espace du référentiel d'étude et
un repère de temps $\;{\big (}$ encore appelé « chronologie » ${\big )}\;{\big \{}$ c.-à-d. une origine de temps et « unité de temps » ^[10] ${\big \}}\;$ lié à la composante de temps du référentiel d'étude.

Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation)

Le repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude $\;{\big (}$ ou d'observation ${\big )}\;$ nécessite le repérage

dans l'espace qui se fait par $\succ \;$ un vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ appelé « vecteur position du lieu » ^[11] où $\;O\;$ est en général l'origine du repère d'espace ^[12] et $\;M\;$ le lieu où se produit l'événement ponctuel
dans l'espace qui se fait par $\color {transparent}{\succ }\;$ ${\big (}$ on parle de repérage intrinsèque ^[13] ${\big )}\;$ ou
dans l'espace qui se fait par $\succ \;$ trois scalaires appelés « coordonnées du lieu » $\;{\big (}$ le repérage utilisant la base choisie ${\big )}\;$ et
dans le temps qui se fait par un scalaire $\;t\;$ appelé « date de l'événement ».

Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s »)

L'unité légale de mesure du temps est « la seconde » $\;{\big (}$ symbole $\;s{\big )}\;$ dont la définition est donnée ci-dessous :

unité légale de temps « la seconde »

La seconde est la « durée de $\;9\,192\,631\,770\;$ périodes » de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux « hyperfins » ^[14] de l'état fondamental de l'atome de Césium 133 « $\;^{133}Cs\;$ ».

Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m »)

L'unité légale de mesure du longueur est « le mètre » $\;{\big (}$ symbole $\;m{\big )}\;$ dont la définition est donnée ci-dessous :

unité légale de longueur « le mètre »

Le mètre est la « longueur du trajet parcouru par lumière dans le vide pendant une durée $\;{\dfrac {1}{299\,792\,458}}\;s\;$ » ^[15].

Caractère relatif du mouvement du point

Si on considère deux référentiels dont les repères d'espace sont en mouvement l'un par rapport à l'autre et un point $\;M\;$ immobile relativement au 1^er, ce point $\;M\;$ étant un point lié au 1^er repère d'espace se déplace relativement au 2^ème comme tout point lié au 1^er repère ;

le point $\;M\;$ n'a donc pas le même mouvement relativement aux deux repères d'espace, son mouvement est donc relatif.

Exemple : vous êtes assis dans un train $\;{\big (}$ définissant le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}{\big )}\;$ lequel se déplace sur Terre $\;{\big (}$ définissant le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}{\big )}$ , vous êtes immobile dans $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ et mobile dans $\;{\mathcal {R}}_{2}$ .

Autre exemple : Un train s'apprête à sortir de gare : il avance à une vitesse de $\;3\,km\cdot h^{-1}\;$ par rapport au sol.

Autre exemple : Un passager, noté $\;A$ , avance vers l'arrière du train à une vitesse de $\;3\,km\cdot h^{-1}\;$ par rapport au train.

Autre exemple : À l'arrière du train se trouve un autre passager, noté $\;C$ , qui fait signe à son ami, noté $\;B$ , resté sur le quai.

Autre exemple : Pour $\;C$ , $\;A\;$ avance à $\;3\,km\cdot h^{-1}\;$ alors que pour $\;B$ , $\;A\;$ est immobile !

Autre exemple : Le mouvement de $\;A\;$ dépend donc de l'observateur : c'est ce qu'on appelle la relativité du mouvement.

Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle

On rappelle que « intrinsèque » signifie « indépendant du choix d'une base ».

Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M

Le repérage intrinsèque du point $\;M\;$ dans le référentiel d'espace se fait par un vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}$ appelé « vecteur position ^[11] du point $\;M\;$ dans le référentiel d'espace », $\;O\;$ étant un point fixe du référentiel d'espace choisi en général à l'origine du repère d'espace associé au référentiel.

Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement

Le repérage d'un évènement lié au point $\;M\;$ dans le référentiel de temps se fait par un scalaire $\;t\;$ appelé « date de l'événement » ^[16], l'origine des temps étant a priori arbitraire $\;{\big [}$ souvent choisie au début du mouvement du point $\;M\;{\big (}$ l'événement origine étant alors l'occupation par le point $\;M\;$ de sa position de départ ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;t\geqslant 0\;$ mais ce n'est pas une nécessité ${\big ]}\;$
dans le cas où le choix de l'origine des temps est arbitraire, $\;t\;$ est un réel de signe quelconque,

$\;t<0\;$ correspondant à la date d'un événement « antérieur » à l'événement origine et
$\;t>0\;$ correspondant à la date d'un événement « postérieur » à l'événement origine.

Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude

Le mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel d'étude est caractérisé par la donnée de la fonction « $\;t\;{\overset {\overrightarrow {OM}}{\longmapsto }}\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$ » ^[17], fonction vectorielle de la variable scalaire $\;t\;$ ^[18] définissant la loi horaire vectorielle du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude.

Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude

La trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'espace est l'ensemble des points du référentiel d'espace représentant les positions successives de $\;M\;$ au cours du temps ;

« $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$ » est aussi l'« équation paramétrique vectorielle de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ » ^[19].

Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point

On utilise ici la notion de dérivée d'une fonction vectorielle de la variable $\;t\;$ introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

La notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.

Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude

Le vecteur vitesse du point $\;M\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ , noté $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est la dérivée temporelle du vecteur position soit « $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\overrightarrow {OM}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$ » ^[20] ;
Le vecteur vitesse du point $\;\color {transparent}{M}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$ , la norme du vecteur vitesse $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$ .

Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Détermination du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers

\;{\big (}

à l'exception du 1^er et du dernier

{\big )}\;

^[21]

Si on suit la position de $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ aux instants successifs espacés de $\;\delta t\;$ ${\big (}$ voir enregistrement ci-contre ${\big )}$ , on évaluera le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ du point $\;M\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ quasi-quelconque de l'enregistrement ^[22] par

«

\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}={\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}-\delta t}M_{t_{0}+\delta t}}}{2\;\delta t}}\;

» ^[23] soit,

avec l'échelle des vitesses « $\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-1}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$ » ^[24],
avec l'échelle des vitesses « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ est obtenu en reportant $\;{\overrightarrow {M_{t_{0}-\delta t}M_{t_{0}+\delta t}}}\;$ à partir de $\;M(t_{0})\;$ » voir figure ci-contre $\;\ldots$

Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et
Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode explicitée ci-contre en $\;M_{6}\;$ ${\big (}$ en $\;M_{6}\;$ on a reporté $\;M_{5}M_{7}{\big )}$ ;

il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en $\;M_{0}\;$ et en $\;M_{7}\;$ par cette méthode $\;\ldots$

Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M

Tracé de l'hodographe de pôle

\;O\;

après détermination annexe du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers

\;{\big (}

à l'exception du 1^er et du dernier

{\big )}\;

^[25]

« L'hodographe

\;\left({\mathcal {H}}\right)\;

de pôle

\;O\;

^[26] du mouvement de

\;M\;

dans le référentiel

\;{\mathcal {R}}\;

» est
« l'ensemble des positions

\;P\;

dans

\;{\mathcal {R}}\;

tel que

\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;

» ^[24]^, ^[27].

Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point

     Il suffit $\;{\big (}$ à partir d'un même pôle $\;O\;$ ^[26] ${\big )}\;$ de reporter les vecteurs vitesse de $\;M\;$ obtenus aux différents instants de l'enregistrement régulier
          Il suffit $\;\color {transparent}{\big (}$ à partir d'un même pôle $\;\color {transparent}{O\;{\big )}}\;$ de reporter les vecteurs vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ ${\big (}$ obtenus sur le schéma ci-dessus à droite ${\big )}$ , et
     on obtient alors une succession régulière de positions $\;P\;$ permettant d'en déduire « l'hodographe de pôle $\;O\;$ ^[26] du mouvement de $\;M\;$ »
     on obtient alors une succession régulière de positions $\;\color {transparent}{P}\;$ permettant d'en déduire ${\big (}$ voir ci-contre à gauche ${\big )}$ .

Les positions $\;P\;$ ne peuvent être obtenues aux instants extrêmes de l'enregistrement des positions de $\;M$ .

Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse

Voir le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'introduction y étant faite en repérant le point $\;M\;$ par son abscisse curviligne $\;s_{M}\;$ ^[28] ;
nous la reproduisons en repérant la position du point $\;M\;$ sur sa trajectoire par l'instant d'occupation $\;t\;$ ^[29] :

Introduction cinématique au vecteur déplacement élémentaire d'un point mobile le long d'une courbe

Si le point mobile se déplace sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ avec un paramétrage cinématique,

$\;M\;$ étant la position $\;{\big (}$ supposée non anguleuse ^[30] ${\big )}\;$ du point à l'instant $\;t\;$ et
$\;M'\;$ celle $\;{\big (}$ supposée également non anguleuse ^[30] ${\big )}\;$ à l'instant infiniment proche $\;t+dt$ ,

     « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ à partir de la date $\;t\;$ » s'écrit « $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM'}}-{\overrightarrow {OM}}\;$ » ou encore
     « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$ » s'écrit « $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM}}(t+dt)-{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ »
     « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$ » s'écrit ce qui peut être traduit par
     « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$ » s'écrit « la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ » ^[31] soit
     « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$ » s'écrit « $\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$ » usuellement noté
     « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$ » s'écrit « $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$ » ^[32].

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire : « si $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$ » il est « tangent à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ » ^[33].

     Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie le vecteur position considéré comme fonction de $\;t\;$ et on obtient
     Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie « $\;d{\overrightarrow {OM}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}(t)\;dt={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;dt\;$ » ^[34] soit « $\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ » ^[35] et par suite
     Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ${\big (}$ quand il n'est pas nul ${\big )}\;$ est tangent à la trajectoire en ${\underline {\;M}}$ .

Autre définition du vecteur vitesse du point ${\underline {\;M}}$ : « $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\overrightarrow {dM}}(t)}{dt}}\;$ » ^[36] c.-à-d. « le taux de variation horaire du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}(t)$ » obtenu en divisant ce dernier par $\;dt$ .

Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire)

On prolonge la notion de dérivée 2^nde d'une fonction scalaire de la variable $\;t\;$ introduite dans le paragraphe « définition (de la dérivée 2^nde d'une fonction scalaire) » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à celle de dérivée 2^nde d'une fonction vectorielle de la variable $\;t$ , la dérivée 1^ère ayant été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chap. $4$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

On rappelle que la notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I.
On rappelle que la notion d'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement d'un point doit être introduite pour être utilisée, c'est en effet un complément.

Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude

Le vecteur accélération du point $\;M\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ , noté $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est la dérivée temporelle du vecteur vitesse soit « $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {\vec {V}}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ » ^[37] ;

Le vecteur accélération du point $\;\color {transparent}{M}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ c'est aussi la dérivée temporelle 2^nde du vecteur position soit « $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\overrightarrow {OM}}}(t)={\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)\;$ » ^[38] ;
Le vecteur accélération du point $\;\color {transparent}{M}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ la norme du vecteur accélération $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert \;$ s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$ .

Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M

De la définition de « l’hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ ^[26] du mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ » à savoir « ensemble des positions $\;P\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ^[24]^, ^[27] », on déduit, en effectuant la dérivation temporelle de chaque membre, « $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ » soit, en remarquant que « $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;P\;$ de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ »,

«

\;{\vec {V}}_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {a}}_{M}(t)\;

»

\Downarrow

au même instant

\;t

, le vecteur vitesse de

\;P\;

sur l'hodographe

\;\left({\mathcal {H}}\right)\;

représente
le vecteur accélération de

\;M\;

sur la trajectoire

\;\left({\mathcal {T}}\right)

.

Détermination du vecteur vitesse du point

\;P\;

de l'hodographe de pôle

\;O\;

à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers

\;{\big (}

à l'exception du 1^er et du dernier de l'hodographe

{\big )}\;

^[25]

Suivant la position de $\;M\;$ sur sa trajectoire tous les $\;\delta t$ , on a pu tracer les vecteurs vitesse aux différents instants, puis
Suivant la position de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur sa trajectoire tous les $\;\color {transparent}{\delta t}$ , on a pu tracer l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ correspondant $\;{\big (}$ voir ci-contre ${\big )}$ ;

     on transpose aux points $\;P\;$ de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ l'opération d'évaluation des vecteurs vitesse des points $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ ^[39]
     on transpose aux points $\;\color {transparent}{P}\;$ de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ pour déterminer le vecteur vitesse d'un point $\;P\;$ de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ quasi-quelconque ^[22] selon
     on transpose aux points $\;\color {transparent}{P}\;$ de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}={\dfrac {\overrightarrow {P_{t_{0}-\delta t}P_{t_{0}+\delta t}}}{2\;\delta t}}\;$ » ^[40] soit,

avec l'échelle des vitesses sur l'hodographe « $\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-1}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$ » ^[24],
avec l'échelle des vitesses « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})\;$ est obtenu en reportant $\;{\overrightarrow {P_{t_{0}-\delta t}P_{t_{0}+\delta t}}}\;$ à partir de $\;P(t_{0})\;$ » voir figure ci-contre $\;\ldots$

Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et
Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode explicitée ci-contre en $\;P_{5}\;$ ${\big (}$ ainsi en $\;P_{5}\;$ on a reporté $\;P_{4}P_{6}{\big )}$ ;

il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en $\;P_{1}\;$ et en $\;P_{6}\;$ par cette méthode $\;\ldots$

Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Report sur l'enregistrement de mouvement de

\;M\;

à intervalles de temps réguliers du vecteur accélération du point

\;M\;

obtenu sur l'hodographe de pôle

\;O\;

de cet enregistrement comme vecteur vitesse du point

\;P\;

considéré au même instant

\;{\big (}

à l'exception des deux 1^ers et des deux derniers de l'enregistrement

{\big )}\;

^[21]

Après détermination de l'hodographe et du vecteur vitesse d'un point $\;P\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ quasi quelconque ^[22] du repérage sur l'hodographe $\;{\big (}$ voir ci-contre à droite ${\big )}$ ,
il suffit alors de reporter « $\;{\vec {V}}_{P_{0}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {a}}_{M_{0}}(t)\;$ en $\;M_{0}\;$ » sur $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ , le vecteur accélération étant alors représenté avec l'échelle des accélérations « $\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-2}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$ » ^[24] $\;{\big (}$ voir figure ci-contre à gauche avec le report en bleu des vecteurs vitesse des points de l'hodographe, lesquels vecteurs vitesse s'identifient aux vecteurs accélérations des points de la trajectoire correspondants ${\big )}$ .

Contournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ ^[41] : on peut déterminer directement sur l'enregistrement du mouvement de $\;M\;$ à intervalles de temps réguliers, le vecteur accélération en un point $\;M(t_{0})\;$ sans faire le tracé de l'hodographe ; pour cela
Contournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ : on détermine les vecteurs vitesse dans les deux positions précédant et suivant le point $\;M(t_{0})\;$ soit « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {V}}_{M}(t_{0}-\delta t)\simeq {\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}{2\;\delta t}}\\{\vec {V}}_{M}(t_{0}+\delta t)\simeq {\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}{2\;\delta t}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » puis on utilise « $\;{\vec {a}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t_{0}+\delta t)-{\vec {V}}_{M}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » ^[42] ou, avec le report des expressions de $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}+\delta t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}-\delta t)$ , « $\;{\vec {a}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}{2\;\delta t}}-{\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}{2\;\delta t}}}{2\;\delta t}}={\dfrac {{\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}-{\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}}{4\left(\delta t\right)^{2}}}\;$ » soit,

avec l'échelle des accélérations «

\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-2}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;

» ^[24],
«

\;{\vec {a}}_{M}(t_{0})\;

déterminé en formant, à partir de

\;M(t_{0})

, la différence entre

\;{\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}\;

et

\;{\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}\;

»

\;\ldots

     Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction sans référence à l'hodographe de pôle $\;O\;$ de l'enregistrement du mouvement de $\;M\;$
     Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction a été explicitée en vert, avec l'échelle des accélérations précédemment définie,
     Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction a été explicitée en vert, pour le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M_{2}}\;$ en formant, à partir de $\;M_{2}$ , la différence entre $\;{\overrightarrow {M_{2}M_{4}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {M_{0}M_{2}}}\;\ldots$

Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération

     Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo $\;{\big (}$ fait par vous-même ^[43] ou téléchargé ^[44] ${\big )}\;$
      Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo pour déterminer le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération du point à un instant quasi quelconque ^[22],
      Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo pour déterminer les échelles des vitesses et des accélérations pouvant être différentes de celles simplificatrices utilisées précédemment $\;\ldots$

Notes et références

↑ Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ Trois siècles plus tard, Einstein postule que l'espace a une géométrie dépendant de la matière et de l'énergie qu'il contient, l'espace n'est donc pas considéré par lui comme absolu mais dépendant de son contenu ;
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑
Trois siècles plus tard, Einstein postule que le temps n'est pas absolu,
- d'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre $\;{\big \{}$ le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « dilatation du temps » ${\big \}}$ ,
- d'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile $\;{\big \{}$ le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile $\;{\big (}$ à tel point que son écoulement s'arrête sur l'horizon d'un trou noir ${\big )}{\big \}}$ ;
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Un solide $\;{\big (}$ au sens de la mécanique ${\big )}\;$ est un système de points matériels indéformable.
↑ Une horloge est un appareil reproduisant un phénomène répétitif.
↑ Le sens est en effet toujours choisi du passé vers le futur.
↑ Toutefois, en cinématique newtonienne, l'espace et le temps restant indépendants, on peut se contenter de parler de référentiel d'espace et de référentiel de temps ;
par contre ceci n'est plus vrai en cinématique relativiste $\;{\big (}$ l'espace dépendant du temps et inversement ${\big )}$ , il est alors nécessaire d'introduire un référentiel d'espace - temps.
↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » dans le chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big \{}$ son orientation suivant la « règle de la main droite » décrite dans la note « ¹² » du chapitre précité ${\big \}}$ .
↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le sens d'évolution du temps étant fixé du passé vers le futur, le vecteur unitaire de repérage du temps se limite au choix d'une unité.
↑ ^11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « repérage intrinsèque d'un point dans l'espace » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Mais en fait il suffit que $\;O\;$ soit un point fixe du repère.
↑ C.-à-d. de repérage n'utilisant pas de base.
↑ Les niveaux « hyperfins » de l'état fondamental résultent du dédoublement de cet état par l'interaction de leurs électrons avec le noyau ; sans tenir compte de cette interaction il n'y aurait qu'un niveau et avec elle, on obtient deux niveaux très proches l'un de l'autre, d'où le qualificatif « hyperfins » fournis à ces niveaux pour traduire la nécessité d'une observation « très fine » ;
on nomme ces niveaux « hyperfins » et non « fins » car on réserve le qualificatif « fins » aux niveaux obtenus par levée de dégénérescence $\;{\big (}$ c.-à-d. dédoublement ou détriplement ou autres $\;\ldots {\big )}\;$ due à l'interaction entre le moment cinétique $\;{\big (}$ voir fin de note ${\big )}\;$ et le spin des électrons, la séparation des niveaux ainsi obtenus ne nécessitant qu'une observation « fine » et non « très fine » $\;\ldots$
Le moment cinétique d'un électron $\;{\big [}$ voir le paragraphe « évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle » du chap. $1$ la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}\;$ est une grandeur caractérisant « sa rotation orbitale », d'autant plus grande que le nombre quantique secondaire $\;l\;$ l'est.
↑ Une conséquence de cette définition du $\;m\;$ est que la vitesse de la lumière dans le vide s'en déduit, sa valeur étant $\;c=299\,792\,458\;m\cdot s^{-1}$ .
↑ L'événement étant l'occupation par le point d'une position de l'espace.
↑ En mathématique on note différemment la fonction et la valeur de la fonction pour une valeur de variable selon « $\;t\;{\overset {f}{\longmapsto }}\;y=f(t)\;$ »,
en physique on adopte le plus souvent une même notation pour éviter l'inflation des notations « $\;t\;{\overset {y}{\longmapsto }}\;y=y(t)\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ De paramètre $\;t$ .
↑ Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur position $\;d{\overrightarrow {OM}}\;$ et celle du temps $\;dt\;$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^21,0 et ^21,1 On a tracé la trajectoire par continuité associée à une certaine régularité mais ce tracé ne figure pas sur l'enregistrement.
↑ ^22,0 ^22,1 ^22,2 et ^22,3 À l'exception des instants initial et final $\;\ldots$
↑ La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $\;t_{0}^{+}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{+})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{\delta t}}\;$ » ainsi que
La justification résultant de celle de la dérivée du vecteur position à l'instant $\;t_{0}^{-}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{-})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{-}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{\delta t}}=\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t')-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{-\delta t'}}\;$ »,
ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse $\;{\big (}$ ce que nous présupposons ${\big )}\;$ on peut réécrire le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à la date $\;t_{0}\;$ « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{+})+{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{-})}{2}}$ $={\dfrac {\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{\delta t}}+\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0})-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t')}{\delta t'}}}{2}}\;$ » soit, en posant $\;\delta t'=\delta t\;$ pour symétriser l'expression, « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ pour $\;\delta t\;$ petit avec sa limite quand $\;\delta t\rightarrow 0$ .
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 ^24,3 ^24,4 et ^24,5 Le symbole « $\;{\widehat {=}}\;$ » signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.
↑ ^25,0 et ^25,1 On a tracé l'hodographe par continuité associée à une certaine régularité de ce dernier.
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position de $\;M$ , nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.
↑ ^27,0 et ^27,1 Par abus d'écriture on écrira « $\;{\overrightarrow {OP}}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\;$ » sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.
↑ Voir le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Cette façon de procéder nécessitant un mouvement sur la courbe continue représente une « définition cinématique du vecteur déplacement élémentaire » alors que celle qui a été introduite dans le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » représente une « définition géométrique du vecteur déplacement élémentaire » indépendante de tout mouvement sur la courbe.
↑ ^30,0 et ^30,1 Position non anguleuse sur la trajectoire $\;{\big (}$ on rappelle qu'en un point anguleux d'une courbe continue on définit deux demi-tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, alors que pour un point non anguleux il n'existe qu'une seule tangente, nous n'envisageons pas le cas de figure avec un point anguleux ${\big )}$ .
↑ On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où $\;dt\;$ est un infiniment petit $\;{\big [}$ la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Car la différentielle est en fait indépendante du choix de $\;O$ .
↑ Voir le paragraphe « propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Revoir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle et sa façon de la calculer » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ L'instant où le vecteur déplacement élémentaire est défini n'est pas usuellement indiqué dans la notation $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ mais il en dépend évidemment.
↑ Contrairement à ce qu'on fait usuellement l'instant de définition du vecteur déplacement élémentaire a été précisé sous la forme $\;{\overrightarrow {dM}}(t)\;$ pour que la dépendance relativement à $\;t\;$ du vecteur vitesse soit également présente dans le 2^nd membre.
↑ Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur vitesse $\;d{\vec {V}}_{M}\;$ et celle du temps $\;dt\;$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles 2^ndes sont notées en surmontant la fonction de deux points successifs, mais
on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée seconde » dont nous nous contenterons de dire qu'il s'agit de la notation contractée de « $\;{\dfrac {d{\dot {f}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\dfrac {df}{dt}}}{dt}}(t)\;$ » sans chercher une autre signification, ce qui nécessiterait d'introduire trop de notions nouvelles $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point » plus haut dans ce chapitre.
↑ La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $\;t_{0}^{+}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{+})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{\delta t}}\;$ » ainsi que
La justification résultant de la définition de la dérivée du position celle à l'instant $\;t_{0}^{-}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{-})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{-}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{\delta t}}=\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t')-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{-\delta t'}}\;$ »,
ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse sur l'hodographe $\;{\big (}$ et donc par continuité du vecteur accélération sur la trajectoire, ce que nous présupposons ${\big )}\;$ d'où « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})=$ ${\dfrac {{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{+})+{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{-})}{2}}={\dfrac {\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{\delta t}}+\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0})-{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t')}{\delta t'}}}{2}}\;$ » ou, avec $\;\delta t'=\delta t$ , « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\;{\overrightarrow {OP}}\;$ pour $\;\delta t\;$ petit avec sa limite quand $\;\delta t\rightarrow 0$ .
↑ La notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ est un complément de programme de physique de P.C.S.I. mais l'évaluation du vecteur accélération du point $\;M\;$ directement sur l'enregistrement en est une exigence.
↑ La justification reproduit celle qui a été donnée pour « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » en remplaçant « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ par $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ » et « $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ » $\;\ldots$
↑ Vous pouvez disposer, dans ce cas, du logiciel « AviStep » permettant de faire les pointages et les mesures, ce dernier est téléchargeable gratuitement à l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html ».
↑ À l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html » il est aussi possible de télécharger des exemples de vidéo et de les traiter à l'aide du logiciel « AviStep » ;
un autre exemple se trouve à l'adresse « http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/vaTS.swf » où on trouve un enregistrement vidéo à télécharger permettant de suivre le tracé d'un vecteur vitesse à partir des positions régulières du mouvement d'un ballon de basket puis le tracé d'un vecteur accélération $\;{\big (}$ les fichiers d'extension « .swf » étant en désuétude, le lecteur qui permettait initialement de les ouvrir n'est plus disponible, toutefois on trouve encore des lecteurs pour les ouvrir voir le site « https://recoverit.wondershare.fr/video-recovery/what-is-swf-file.html » ${\big )}$ .

Mécanique 1 (PCSI)

Sommaire

Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

[Newton-1] Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.

[2] Trois siècles plus tard, Einstein postule que l'espace a une géométrie dépendant de la matière et de l'énergie qu'il contient, l'espace n'est donc pas considéré par lui comme absolu mais dépendant de son contenu ;
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[3] Trois siècles plus tard, Einstein postule que le temps n'est pas absolu,
d'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre $\;{\big \{}$ le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « dilatation du temps » ${\big \}}$ ,

d'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile $\;{\big \{}$ le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile $\;{\big (}$ à tel point que son écoulement s'arrête sur l'horizon d'un trou noir ${\big )}{\big \}}$ ;
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[4] 'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre $\;{\big \{}$ le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « dilatation du temps » ${\big \}}$ ,

[5] 'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile $\;{\big \{}$ le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile $\;{\big (}$ à tel point que son écoulement s'arrête sur l'horizon d'un trou noir ${\big )}{\big \}}$ ;

[4] Un solide $\;{\big (}$ au sens de la mécanique ${\big )}\;$ est un système de points matériels indéformable.

[5] Une horloge est un appareil reproduisant un phénomène répétitif.

[6] Le sens est en effet toujours choisi du passé vers le futur.

[7] Toutefois, en cinématique newtonienne, l'espace et le temps restant indépendants, on peut se contenter de parler de référentiel d'espace et de référentiel de temps ;
par contre ceci n'est plus vrai en cinématique relativiste $\;{\big (}$ l'espace dépendant du temps et inversement ${\big )}$ , il est alors nécessaire d'introduire un référentiel d'espace - temps.

[base_directe-8] Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » dans le chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big \{}$ son orientation suivant la « règle de la main droite » décrite dans la note « ¹² » du chapitre précité ${\big \}}$ .

[orienté_à_droite-9] Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[10] Le sens d'évolution du temps étant fixé du passé vers le futur, le vecteur unitaire de repérage du temps se limite au choix d'une unité.

[vecteur_position-11] 11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « repérage intrinsèque d'un point dans l'espace » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[12] Mais en fait il suffit que $\;O\;$ soit un point fixe du repère.

[13] C.-à-d. de repérage n'utilisant pas de base.

[14] Les niveaux « hyperfins » de l'état fondamental résultent du dédoublement de cet état par l'interaction de leurs électrons avec le noyau ; sans tenir compte de cette interaction il n'y aurait qu'un niveau et avec elle, on obtient deux niveaux très proches l'un de l'autre, d'où le qualificatif « hyperfins » fournis à ces niveaux pour traduire la nécessité d'une observation « très fine » ;
on nomme ces niveaux « hyperfins » et non « fins » car on réserve le qualificatif « fins » aux niveaux obtenus par levée de dégénérescence $\;{\big (}$ c.-à-d. dédoublement ou détriplement ou autres $\;\ldots {\big )}\;$ due à l'interaction entre le moment cinétique $\;{\big (}$ voir fin de note ${\big )}\;$ et le spin des électrons, la séparation des niveaux ainsi obtenus ne nécessitant qu'une observation « fine » et non « très fine » $\;\ldots$
Le moment cinétique d'un électron $\;{\big [}$ voir le paragraphe « évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle » du chap. $1$ la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}\;$ est une grandeur caractérisant « sa rotation orbitale », d'autant plus grande que le nombre quantique secondaire $\;l\;$ l'est.

[15] Une conséquence de cette définition du $\;m\;$ est que la vitesse de la lumière dans le vide s'en déduit, sa valeur étant $\;c=299\,792\,458\;m\cdot s^{-1}$ .

[16] L'événement étant l'occupation par le point d'une position de l'espace.

[abus_de_notation-17] En mathématique on note différemment la fonction et la valeur de la fonction pour une valeur de variable selon « $\;t\;{\overset {f}{\longmapsto }}\;y=f(t)\;$ »,
en physique on adopte le plus souvent une même notation pour éviter l'inflation des notations « $\;t\;{\overset {y}{\longmapsto }}\;y=y(t)\;$ ».

[18] Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[19] De paramètre $\;t$ .

[20] Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur position $\;d{\overrightarrow {OM}}\;$ et celle du temps $\;dt\;$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[Tracé_de_la_trajectoire-21] 21,0 et ^21,1 On a tracé la trajectoire par continuité associée à une certaine régularité mais ce tracé ne figure pas sur l'enregistrement.

[Sauf_initial_et_final-22] 22,0 ^22,1 ^22,2 et ^22,3 À l'exception des instants initial et final $\;\ldots$

[justification_de_l'obtention_d'un_vecteur_vitesse-23] La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $\;t_{0}^{+}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{+})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{\delta t}}\;$ » ainsi que
La justification résultant de celle de la dérivée du vecteur position à l'instant $\;t_{0}^{-}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{-})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{-}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{\delta t}}=\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t')-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{-\delta t'}}\;$ »,
ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse $\;{\big (}$ ce que nous présupposons ${\big )}\;$ on peut réécrire le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à la date $\;t_{0}\;$ « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{+})+{\vec {V}}_{M}(t_{0}^{-})}{2}}$ $={\dfrac {\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0})}{\delta t}}+\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0})-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t')}{\delta t'}}}{2}}\;$ » soit, en posant $\;\delta t'=\delta t\;$ pour symétriser l'expression, « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ pour $\;\delta t\;$ petit avec sa limite quand $\;\delta t\rightarrow 0$ .

[signification_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 ^24,3 ^24,4 et ^24,5 Le symbole « $\;{\widehat {=}}\;$ » signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.

[Tracé_de_l'hodographe-25] 25,0 et ^25,1 On a tracé l'hodographe par continuité associée à une certaine régularité de ce dernier.

[pôle_de_l'hodographe-26] 26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position de $\;M$ , nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.

[notation_simplifiée_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-27] 27,0 et ^27,1 Par abus d'écriture on écrira « $\;{\overrightarrow {OP}}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\;$ » sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.

[abscisse_curviligne-28] Voir le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[29] Cette façon de procéder nécessitant un mouvement sur la courbe continue représente une « définition cinématique du vecteur déplacement élémentaire » alors que celle qui a été introduite dans le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » représente une « définition géométrique du vecteur déplacement élémentaire » indépendante de tout mouvement sur la courbe.

[non_anguleux-30] 30,0 et ^30,1 Position non anguleuse sur la trajectoire $\;{\big (}$ on rappelle qu'en un point anguleux d'une courbe continue on définit deux demi-tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, alors que pour un point non anguleux il n'existe qu'une seule tangente, nous n'envisageons pas le cas de figure avec un point anguleux ${\big )}$ .

[31] On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où $\;dt\;$ est un infiniment petit $\;{\big [}$ la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[32] Car la différentielle est en fait indépendante du choix de $\;O$ .

[33] Voir le paragraphe « propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[34] Revoir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle et sa façon de la calculer » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[35] L'instant où le vecteur déplacement élémentaire est défini n'est pas usuellement indiqué dans la notation $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ mais il en dépend évidemment.

[36] Contrairement à ce qu'on fait usuellement l'instant de définition du vecteur déplacement élémentaire a été précisé sous la forme $\;{\overrightarrow {dM}}(t)\;$ pour que la dépendance relativement à $\;t\;$ du vecteur vitesse soit également présente dans le 2^nd membre.

[37] Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur vitesse $\;d{\vec {V}}_{M}\;$ et celle du temps $\;dt\;$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[38] Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles 2^ndes sont notées en surmontant la fonction de deux points successifs, mais
on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée seconde » dont nous nous contenterons de dire qu'il s'agit de la notation contractée de « $\;{\dfrac {d{\dot {f}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\dfrac {df}{dt}}}{dt}}(t)\;$ » sans chercher une autre signification, ce qui nécessiterait d'introduire trop de notions nouvelles $\;\ldots$

[39] Voir le paragraphe « évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point » plus haut dans ce chapitre.

[justification_de_l'obtention_d'un_vecteur_vitesse_-_bis-40] La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $\;t_{0}^{+}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{+})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{\delta t}}\;$ » ainsi que
La justification résultant de la définition de la dérivée du position celle à l'instant $\;t_{0}^{-}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{-})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{-}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{\delta t}}=\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t')-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{-\delta t'}}\;$ »,
ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse sur l'hodographe $\;{\big (}$ et donc par continuité du vecteur accélération sur la trajectoire, ce que nous présupposons ${\big )}\;$ d'où « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})=$ ${\dfrac {{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{+})+{\vec {V}}_{P}(t_{0}^{-})}{2}}={\dfrac {\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0})}{\delta t}}+\lim \limits _{\delta t'\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0})-{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t')}{\delta t'}}}{2}}\;$ » ou, avec $\;\delta t'=\delta t$ , « $\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0^{+}}{\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\;{\overrightarrow {OP}}\;$ pour $\;\delta t\;$ petit avec sa limite quand $\;\delta t\rightarrow 0$ .

[41] La notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ est un complément de programme de physique de P.C.S.I. mais l'évaluation du vecteur accélération du point $\;M\;$ directement sur l'enregistrement en est une exigence.

[42] La justification reproduit celle qui a été donnée pour « $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$ » en remplaçant « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ par $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ » et « $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ » $\;\ldots$

[43] Vous pouvez disposer, dans ce cas, du logiciel « AviStep » permettant de faire les pointages et les mesures, ce dernier est téléchargeable gratuitement à l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html ».

[44] À l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html » il est aussi possible de télécharger des exemples de vidéo et de les traiter à l'aide du logiciel « AviStep » ;
un autre exemple se trouve à l'adresse « http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/vaTS.swf » où on trouve un enregistrement vidéo à télécharger permettant de suivre le tracé d'un vecteur vitesse à partir des positions régulières du mouvement d'un ballon de basket puis le tracé d'un vecteur accélération $\;{\big (}$ les fichiers d'extension « .swf » étant en désuétude, le lecteur qui permettait initialement de les ouvrir n'est plus disponible, toutefois on trouve encore des lecteurs pour les ouvrir voir le site « https://recoverit.wondershare.fr/video-recovery/what-is-swf-file.html » ${\big )}$ .

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