Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
Énergie cinétique d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels modifier
suite de l'exercice « Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Une tige , de masse négligeable, de longueur , est suspendue en son milieu fixe dans le référentiel terrestre ;
en et sont articulées deux tiges identiques et , de masses négligeables, de longueur , milieu de , milieu de et les articulations sont telles que les trois tiges , et restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1ers vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe , le 3ème vecteur de cette base étant au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;
aux extrémités sont fixés quatre points matériels identiques de masse ;
la position angulaire des tiges dans le plan est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par selon :
- l'angle algébrisé pour repérer la tige ,
- l'angle algébrisé pour repérer la tige et
- l'angle algébrisé pour repérer la tige .
En admettant le théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[1] appliqué à un système de deux points matériels[2] à savoir
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système de deux points matériels « » évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude « » est la somme
- de l'énergie cinétique barycentrique[3] du système « » évaluée à l'instant et
- de l'énergie cinétique du C.D.I[4]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse « »
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement « »,
évaluer, dans le référentiel terrestre et à l'instant , l'énergie cinétique du système constitué des trois tiges et des quatre points matériels « » en fonction des données et des dérivées temporelles .
- « » avec « le vecteur rotation instantanée de la tige » et « son moment d'inertie relativement à la médiatrice lequel est nul pour une tige sans masse » d'où
« », - « » par application du 2ème théorème de Kœnig[1] à l'ensemble de la tige alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse , « étant l'énergie cinétique barycentrique[3] de la tige alourdie » et « le C.D.I[4]. de cette tige alourdie de masse » la tige étant sans masse avec
« » dans lequel « est le vecteur rotation instantanée de la tige » et « le moment d'inertie de la tige alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice encore égal à la tige étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel » d'où « » et
« [5] » d'où« », - « » par application du 2ème théorème de Kœnig[1] à l'ensemble de la tige alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse , « étant l'énergie cinétique barycentrique[3] de la tige alourdie » et « le C.D.I[4]. de cette tige alourdie de masse » la tige étant sans masse avec
« » dans lequel « est le vecteur rotation instantanée de la tige » et « le moment d'inertie de la tige alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice encore égal à la tige étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel » d'où « » et
« [6] » d'où« » ;
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig[1] non demandé : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système de deux points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points »
Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (2ème suite) modifier
suite de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (1re suite) » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
On considère le quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement perpendiculaires, avec centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier voir schéma ci-contre ;
appelant la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose en utilisant éventuellement les résultats de l'exercice précité en préambule à savoir la position du C.D.I[7]. du quart de disque ainsi que le vecteur vitesse de dans le référentiel du laboratoire en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée de dans étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation ou de sa 1re suite précitée en préambule à savoir le vecteur moment cinétique [8] du quart de disque relativement à dans de déterminer l'énergie cinétique du quart de disque relativement au référentiel du laboratoire .
Détermination de l'énergie cinétique du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire modifier
Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe avec centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante dans le référentiel du laboratoire ,
- exprimer, sous forme d'une intégrale surfacique[9], l'énergie cinétique du quart de disque dans le référentiel du laboratoire on pourra introduire le vecteur rotation instantanée avec le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
- vérifier que l'énergie cinétique du quart de disque dans suit la formule classique en fonction des vecteurs moment cinétique [8] et rotation instantanée d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et
- évaluer l'énergie cinétique en fonction des données.
Le quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement étant le centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier , est en rotation uniforme autour de l'axe de vecteur rotation instantanée on choisit de repérer le point générique de par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe appelé par la suite, la base cylindro-polaire liée à étant notée « » et les coordonnées cylindro-polaires de « » voir ci-contre le repérage cylindro-polaire du C.D.I[7]. du quart de disque , celui du point générique s'imaginant aisément ;
l'énergie cinétique du quart de disque dans le référentiel du laboratoire étant défini selonl'aire de la surface élémentaire entourant le point générique ,
car « »[8] par définition ;
« le moment d'inertie de par rapport à l'axe »[9]
soit « »[12].
Énergie cinétique d'un roulement à billes modifier
Un roulement à billes est constitué de billes sphériques homogènes de masse ;
dans le référentiel d'étude , la couronne intérieure de surface latérale cylindrique de rayon est fixe et
dans le référentiel d'étude la couronne extérieure assimilable à un tuyau cylindrique dont la masse est répartie uniformément sur sa surface , de rayon tourne à la vitesse angulaire autour de l'axe commun aux deux couronnes et au roulement à billes dont est le centre de symétrie.
Nous supposons que les billes, n'ayant pas de contact entre elles, roulent sans glisser[13] à la fois sur la couronne intérieure et sur la couronne extérieure.
Nous admettons les expressions des moments d'inertie des solides suivants relativement à leur axe de révolution
- une boule , homogène, de masse , de rayon autour d'un diamètre quelconque « »,
- un tuyau cylindrique , homogène, de masse , de rayon autour de son axe de révolution « ».
En admettant le théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[1] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[14] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle,
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle « » évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude « » est la somme
- de l'énergie cinétique barycentrique[3] du système « » évaluée à l'instant et
- de l'énergie cinétique du C.D.I[4]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse « »
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement « »,
évaluer, dans le référentiel d'étude et à l'instant , l'énergie cinétique du système constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes « » en fonction de « , , , et ».
Un roulement de billes sphériques homogènes de masse , , sans contact entre elles, roule sans glisser[13]
- sur la couronne intérieure de surface latérale cylindrique de rayon fixe dans le référentiel d'étude ainsi que sur
- sur la couronne extérieure assimilable à un tuyau cylindrique de masse répartie uniformément sur sa surface , de rayon tournant, dans , à la vitesse angulaire autour de l'axe commun aux deux couronnes et au roulement à billes avec le point pour centre de symétrie de l'ensemble,
le roulement sans glissement[13] d'une bille quelconque , de rayon , de centre se faisant avec un vecteur rotation instantanée à déterminer dans , étant le point de contact de la bille avec la couronne intérieure et celui avec la couronne extérieure ,
nous repérons la position de dans le plan passant par et à axe orienté par dont le sens est choisi de façon à ce que le mouvement de la couronne extérieure se fasse dans le sens par repérage polaire de pôle avec la base polaire liée au centre de coordonnées polaires , étant la vitesse angulaire à déterminer du point autour de dans voir, ci-contre, la représentation d'une bille quelconque entre les deux couronnes ;
le roulement sans glissement[13] de la bille de centre , sur la couronne intérieure fixe dans se traduit par « » avec « » et « » le mouvement de dans résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation dans et d'une rotation de vecteur rotation instantanée autour de dans le référentiel lié à en translation relativement à dans lequel « » et « » d'où la réécriture de la condition de non glissement de la bille sur la couronne intérieure « » ou « » soit finalement « » ;
le roulement sans glissement[13] de la bille de centre , sur la couronne extérieure tournant à la vitesse angulaire autour de dans se traduit par « » avec « » et « » le mouvement de dans résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation dans et d'une rotation de vecteur rotation instantanée autour de dans le référentiel lié à en translation relativement à dans lequel « » et « » d'où la réécriture de la condition de non glissement de la bille sur la couronne extérieure « » ou « » soit finalement « » ;
éliminant en formant « » nous obtenons « » soit la vitesse angulaire de rotation de la bille autour de son centre dans « » et
éliminant en formant « » nous obtenons « » soit la vitesse angulaire de rotation du centre de la bille autour de dans « ».
L'énergie cinétique « » du « système constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes » dans le référentiel d'étude à l'instant , étant la somme des énergies cinétiques de ses constituants au même instant et dans le même référentiel, s'évalue selon « » avec
- « », la couronne intérieure étant fixe dans le référentiel ,
- « », la couronne extérieure tournant à la vitesse angulaire autour de son axe dans le référentiel avec un moment d'inertie et
- « » se déterminant par application du 2ème théorème de Kœnig[1] ou théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique dans le cadre d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[14] soit « », « étant le C.D.I[4]. de la bille lequel décrit, dans le référentiel , un cercle d'axe , de rayon , à la vitesse angulaire » et « l'énergie cinétique barycentrique de la bille [3] le mouvement de dans le référentiel barycentrique de celle-ci[3] étant une rotation autour de l'axe , fixe dans , à la vitesse angulaire avec pour moment d'inertie de relativement à son axe ou encore » soit finalement « »,
ou encore « »[15].
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig[1] non demandé : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points »
Additifs : détermination du moment d'inertie d'un tuyau cylindrique relativement à son axe de révolution [16] : soit le tuyau cylindrique homogène, de masse surfacique , d'axe de révolution , de rayon , de masse et de moment d'inertie par rapport à l'axe moment d'inertie à évaluer , son moment d'inertie relativement à l'axe est défini par « »[9],[17] soit « » et finalement, la masse de étant égale à , « » C.Q.F.V[18]. ;
additifs : détermination du moment d'inertie d'une boule relativement à un de ses axes de symétrie [16] : soit la boule homogène, de masse volumique , ayant pour axe de symétrie, de rayon , de masse et de moment d'inertie par rapport à l'axe grandeur à évaluer , son moment d'inertie par rapport à est défini par « »[19],[20] soit, avec « » étant la coordonnée radiale du repérage cylindro-polaire d'axe exprimée en fonction des coordonnées sphériques[21] , en utilisant la méthode de calcul d'une intégrale volumique[22] « » ce dernier facteur étant une intégrale de la variable aisément calculable « » soit finalement, la masse de étant égale à , « » C.Q.F.V[18]..
Notes et références modifier
- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 et 1,09 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière. - ↑ Voir le paragraphe « théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique (ou 2ème théorème de Kœnig) (appliqué à un système de deux points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 Centre D'Inertie.
- ↑ En effet « » et « ».
- ↑ En effet « » et « ».
- ↑ 7,0 et 7,1 Centre D'Inertie.
- ↑ 8,0 8,1 8,2 et 8,3 La masse surfacique utilisant la « notation » nous notons les moments cinétiques vectoriel ou scalaire « ou » et non la « notation usuelle ou » par précaution pour éviter toute confusion qui pourrait en découler.
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 et 9,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés (d'un produit mixte de trois vecteurs, remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir la solution de la question « détermination du moment cinétique vectoriel en C du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire » de l'exercice précité de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
- ↑ En utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe du point générique du quart de disque , « » application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique : on fige et on intègre sur de à puis on intègre sur de à d'où « », cette intégrale se calculant en faisant le changement de variable « » variant de à « » et « » d'où « » donnant finalement « compte-tenu de ».
L'intégration aurait été nettement plus aisée en utilisant le repérage polaire du plan de de pôle et d'axe polaire de vecteur unitaire , les coordonnées polaires de étant et d'où « » rappel de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique dans le cas présent : on fige et on intègre sur de à puis on intègre sur de à ou, en linéarisant l'intégrale sur , « » compte-tenu de ». - ↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 et 13,4 Un objet ne glisse pas sur un objet si leur point de contact est tel que, dans le référentiel d'étude, « ».
- ↑ 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « 2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique) (appliqué à un système continu de matière) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
- ↑ « » étant l'énergie cinétique de la couronne extérieure et celle du roulement à billes étant « fois » la précédente.
- ↑ 16,0 et 16,1 Non demandé.
- ↑ étant l'aire de la surface élémentaire centrée en s'écrit, en repérage cylindro-polaire d'axe revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire (plus précisément dans le cas de la surface latérale d'un tuyau cylindrique d'axe Oz) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 18,0 et 18,1 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
- ↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ étant le volume de l'expansion tridimensionnelle élémentaire centrée en coordonnées sphériques de pôle s'écrit, en repérage sphérique de pôle et d'axe revoir le paragraphe « expressions en paramétrage sphérique du volume élémentaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».