Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation

Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
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Exercices no9
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chapitre du cours : Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Loi du moment cinétique : Pendule pesant
Exo suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
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Énergie cinétique d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels modifier

 
Ensemble de trois tiges sans masse   coplanaires et de quatre points matériels  , la tige centrale   étant mobile autour de son milieu  , les tiges extérieures   tournant autour de leur milieu respectif   avec les points matériels   fixés aux extrémités des tiges extérieures  

     suite de l'exercice « Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels » de la série d'exer.  de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

     Une tige  , de masse négligeable, de longueur  , est suspendue en son milieu   fixe dans le référentiel terrestre   ;

     en   et   sont articulées deux tiges identiques   et  , de masses négligeables, de longueur  ,   milieu de  ,   milieu de   et les articulations sont telles que les trois tiges  ,   et   restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1ers vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe  , le 3ème vecteur de cette base   étant   au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens   des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;

     aux extrémités   sont fixés quatre points matériels identiques de masse   ;

     la position angulaire des tiges dans le plan   est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par   selon :

  • l'angle algébrisé   pour repérer la tige  ,
  • l'angle algébrisé   pour repérer la tige   et
  • l'angle algébrisé   pour repérer la tige  .

     En admettant le théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique  ou 2ème théorème de Kœnig[1]  appliqué à un système de deux points matériels[2] à savoir

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système de deux points matériels « » évaluée à l'instant   dans le référentiel d'étude   « » est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique[3] du système « » évaluée à l'instant   et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I[4].   du système évaluée au même instant   dans le référentiel d'étude    en attribuant au point fictif   la masse   « »

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement « »,

     évaluer, dans le référentiel terrestre   et à l'instant  , l'énergie cinétique du système   constitué des trois tiges et des quatre points matériels « » en fonction des données et des dérivées temporelles  .

Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (2ème suite) modifier

 
Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R

     suite de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan » de la série d'exer.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (1re suite) » de la série d'exer.  de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

     On considère le quart de disque homogène   limité par le quart de cercle   et les deux rayons   et   respectivement perpendiculaires, avec   centre du quart de cercle et   le rayon de ce dernier  voir schéma ci-contre  ;

     appelant   la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose  en utilisant éventuellement les résultats de l'exercice précité en préambule à savoir la position du C.D.I[7].   du quart de disque   ainsi que le vecteur vitesse   de   dans le référentiel du laboratoire   en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée   de   dans     étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation  ou de sa 1re suite précitée en préambule à savoir le vecteur moment cinétique  [8] du quart de disque   relativement à   dans   de déterminer l'énergie cinétique du quart de disque   relativement au référentiel du laboratoire  .

Détermination de l'énergie cinétique du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire modifier

     Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle   et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe   avec   centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante   dans le référentiel du laboratoire  ,

  • exprimer, sous forme d'une intégrale surfacique[9], l'énergie cinétique   du quart de disque   dans le référentiel du laboratoire    on pourra introduire le vecteur rotation instantanée   avec   le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation  puis
  • vérifier que l'énergie cinétique   du quart de disque   dans   suit la formule classique en fonction des vecteurs moment cinétique  [8] et rotation instantanée   d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et
  • évaluer l'énergie cinétique en fonction des données.

Énergie cinétique d'un roulement à billes modifier

 
Roulement à billes entre les couronnes coaxiales, l'une intérieure fixe de rayon R1 et l'autre extérieure de rayon R2 tournant à la vitesse angulaire Ω autour de l'axe Δ commun aux deux couronnes et au roulement

     Un roulement à billes est constitué de   billes sphériques homogènes de masse     ;

     dans le référentiel d'étude  , la couronne intérieure de surface latérale cylindrique de rayon   est fixe et
                dans le référentiel d'étude la couronne extérieure  assimilable à un tuyau cylindrique dont la masse   est répartie uniformément sur sa surface , de rayon   tourne à la vitesse angulaire   autour de l'axe   commun aux deux couronnes et au roulement à billes dont   est le centre de symétrie.

     Nous supposons que les billes, n'ayant pas de contact entre elles, roulent sans glisser[13] à la fois sur la couronne intérieure et sur la couronne extérieure.

     Nous admettons les expressions des moments d'inertie des solides suivants relativement à leur axe de révolution

  • une boule  , homogène, de masse  , de rayon   autour d'un diamètre quelconque   « »,
  • un tuyau cylindrique  , homogène, de masse  , de rayon   autour de son axe de révolution   « ».

     En admettant le théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique  ou 2ème théorème de Kœnig[1]  appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[14] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle   « » évaluée à l'instant   dans le référentiel d'étude   « » est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique[3] du système « » évaluée à l'instant   et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I[4].   du système évaluée au même instant   dans le référentiel d'étude    en attribuant au point fictif   la masse   « »

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement « »,

     évaluer, dans le référentiel d'étude   et à l'instant  , l'énergie cinétique du système   constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes « » en fonction de « ,  ,  ,   et  ».

Notes et références modifier

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 et 1,09 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
       Christian Huygens (1629 – 1695)  ou Huyghens  est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  2. Voir le paragraphe « théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique (ou 2ème théorème de Kœnig) (appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.  de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 Centre D'Inertie.
  5. En effet « » et « ».
  6. En effet « » et « ».
  7. 7,0 et 7,1 Centre D'Inertie.
  8. 8,0 8,1 8,2 et 8,3 La masse surfacique utilisant la « notation  » nous notons les moments cinétiques vectoriel ou scalaire «  ou  » et non la « notation usuelle   ou  » par précaution pour éviter toute confusion qui pourrait en découler.
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 et 9,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. Voir le paragraphe « propriétés (d'un produit mixte de trois vecteurs, remarque) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Voir la solution de la question « détermination du moment cinétique vectoriel en C du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire » de l'exercice précité de la série d'exer.  de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  12. En utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe   du point générique   du quart de disque  ,     «   »  application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique : on fige   et on intègre sur   de   à   puis on intègre sur   de   à   d'où « », cette intégrale se calculant en faisant le changement de variable «   »   variant de   à     « » et « » d'où «   » donnant finalement «    compte-tenu de  ».
       L'intégration aurait été nettement plus aisée en utilisant le repérage polaire du plan de   de pôle   et d'axe polaire   de vecteur unitaire  , les coordonnées polaires de   étant     et   d'où « »  rappel de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique dans le cas présent : on fige   et on intègre sur   de   à   puis on intègre sur   de   à   ou, en linéarisant l'intégrale sur  , «   » compte-tenu de  ».
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 et 13,4 Un objet   ne glisse pas sur un objet   si leur point de contact   est tel que, dans le référentiel d'étude, « ».
  14. 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « 2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique) (appliqué à un système continu de matière) » du chap.  de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  15. « » étant l'énergie cinétique de la couronne extérieure et celle du roulement à billes étant «  fois » la précédente.
  16. 16,0 et 16,1 Non demandé.
  17.   étant l'aire de la surface élémentaire centrée en   s'écrit, en repérage cylindro-polaire d'axe     revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire (plus précisément dans le cas de la surface latérale d'un tuyau cylindrique d'axe Oz) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. 18,0 et 18,1 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  19. Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  20.   étant le volume de l'expansion tridimensionnelle élémentaire centrée en    coordonnées sphériques de pôle   s'écrit, en repérage sphérique de pôle   et d'axe     revoir le paragraphe « expressions en paramétrage sphérique du volume élémentaire » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. Voir le paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».