Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice

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L'exponentielle matricielle est la généralisation naturelle aux matrices carrées (ici : à coefficients complexes) de la série entière exponentielle, définie sur $\mathbb {C}$.

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Définition

Définition

Soit $A$ une matrice carrée n × n. L'exponentielle de $A$, notée $\exp A$ ou $\mathrm {e} ^{A}$, est la matrice définie par $\exp A=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {A^{k}}{k!}}$. Cette série est normalement convergente sur toute partie bornée de $\mathrm {M} _{n}\left(\mathbb {C} \right)$.

Démonstration

Toutes les normes sur $\mathrm {M} _{n}\left(\mathbb {C} \right)$ étant équivalentes, on peut utiliser une norme d'algèbre, c'est-à-dire vérifiant $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$, par exemple une norme subordonnée.

Soit $E$ une partie bornée de $\mathrm {M} _{n}\left(\mathbb {C} \right)$. Il existe donc $M\geq 0$ tel que

$\forall A\in E\quad \|A\|\leq M$.

On a alors pour tout $k\in \mathbb {N} ^{*}$ et pour tout $A\in E$ :

$\left\|{\frac {A^{k}}{k!}}\right\|\leq {\frac {\|A\|^{k}}{k!}}\leq {\frac {M^{k}}{k!}}$.

Or $\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {M^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{M}<+\infty$, ce qui montre la convergence normale.

 

Propriétés

Propriétés

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées n×n.

1. $\exp(0)=I_{n}$.
2. Si $A=\operatorname {diag} \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)$, alors $\exp(A)=\operatorname {diag} \left(\mathrm {e} ^{a_{1}},\mathrm {e} ^{a_{2}},\dots ,\mathrm {e} ^{a_{n}}\right)$.
3. S'il existe $P\in \operatorname {GL} _{n}(K)$ tel que $A=PBP^{-1}$, alors $\exp(A)=P\exp(B)P^{-1}$.
4. Si $A$ et $B$ commutent, alors $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$.
5. $\det(\mathrm {e} ^{A})=\mathrm {e} ^{\operatorname {tr} (A)}$.

Démonstration

Les 2 premières propriétés sont évidentes.

La 4^e se montre comme pour les exponentielles réelles ou complexes

Pour la 3^e : on remarque juste que $A^{n}=P\cdot B^{n}\cdot P^{-1}$ et que la multiplication est une application continue (pour passage à la limite)

Pour la dernière : Il suffit d’utiliser le caractère algébriquement clos de $\mathbb {C}$ pour triangulariser la matrice et le résultat est alors immédiat (utiliser le point 2^e pour revenir à la matrice initiale et la stabilité par produit des matrices triangulaires supérieures/inférieures).

 

Corollaire

L'exponentielle d'une matrice $A$ est inversible et son inverse est $\mathrm {e} ^{-A}$.

Démonstration

$-A$ commute avec $A$ donc $\exp(A)\exp(-A)=\exp(A-A)=\mathrm {e} ^{0}=I_{n}$

 

Proposition

L'exponentielle de $A$ est un polynôme en $A$.

Démonstration

Voir Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie.

 

Calculs d'exponentielles matricielles

Matrices diagonalisables

Soit A une matrice diagonalisable telle que $A=P\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\ &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}\cdot P^{-1}$, alors

$\exp(A)=P{\begin{pmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\ &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{pmatrix}}P^{-1}$

Matrices nilpotentes

Soit $A$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier naturel $q$ tel que $A^{q}=0$, alors l'exponentielle se transforme en somme finie et

$\exp(A)=\sum _{k=0}^{q}{\frac {A^{k}}{k!}}$.

Généralisation

Soit $A$ une matrice, on la réduit sous la forme de Jordan. Puis on exponentialise dans chaque sous-espace propre en utilisant les 2 méthodes ci-dessus

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Utilisation des exponentielles de matrice

Les exponentielles matricielles sont principalement utilisées pour la résolution d'équations différentielles linéaires.

Voir ou plutôt revoir Réduction des endomorphismes/Applications.