Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'ordre

Relation d'ordre
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Exercices no2
Leçon : Relation (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Relation d'équivalence
Exo suiv. :Sommaire
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Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'ordre
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Exercice 2-1 modifier

Pour la définition des (bornes) sup(érieure)s, (re)voir : Introduction aux mathématiques/Relations binaires#Relations d'ordre.

Soient   trois éléments d'un ensemble ordonné. On suppose que   et   existent. Montrer que   existe et qu'il est égal à  .

Soit   une partie non vide et bornée de  . Déterminer, en fonction de   et   :

  •   et  , où   (pour  ) ;
  •  , où  .

Montrer que   ne dépend pas seulement de   et  .

Soient   deux fonctions majorées.

  1. Établir   et donner un exemple ou l'inégalité est stricte.
  2. En déduire   et un exemple ou l'inégalité est stricte.

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des parties suivantes, en précisant de plus si elles appartiennent à la partie considérée.

  •  
  •  
  •  
  •  , où   désigne la partie entière de  
  •  
  •  
  •  
  •  .

Soient   et   deux parties non vides de  . Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :

  •   ;
  •  .

Exercice 2-2 modifier

  1. Il est connu que l'ensemble   des réels possède la propriété de la borne supérieure. Qu'est-ce que cela signifie ?
  2. Le sous-ensemble   des rationnels possède-t-il aussi cette propriété ?
  3. Est-il vrai que tout ensemble bien ordonné possède cette propriété ?

Exercice 2-3 modifier

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Élément maximal ».

On définit sur   la relation   par :  .

  1. Montrer que c'est une relation d'ordre.
  2. Pour cet ordre, le disque   admet-il des majorants ? des éléments maximaux ? un plus grand élément ? une borne supérieure ?
  3. Mêmes questions pour le carré  .

Exercice 2-4 modifier

    • Dans  , on considère l'ensemble   formé par les termes de la suite   définie par  .   admet-il une borne supérieure ? un plus grand élément ? une borne inférieure ? un plus petit élément ?
    • Même question avec la suite   définie par  .
  1. On considère l'ensemble ordonné  .
    • Existe-t-il des éléments maximaux dans   (si oui, lesquels ?) Existe-t-il des éléments minimaux dans   (si oui, lesquels ?)
    • L'ensemble   admet-il des majorants ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? des éléments maximaux ? des minorants ? une borne inférieure ? un plus petit élément ? des éléments minimaux ?
  2. Soit   un ensemble. On considère l'ensemble ordonné  . Dans chacun des deux cas qui suivent, le sous-ensemble   de   admet-il des majorants ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? des éléments maximaux ? des minorants ? une borne inférieure ? un plus petit élément ? des éléments minimaux ?
    •   avec  .
    •   avec  .

Exercice 2-5 modifier

On considère l'ensemble ordonné  .

  1. L'ensemble   des parties finies de   a-t-il des éléments minimaux ? un plus petit élément ? des éléments maximaux ? un plus grand élément ? (et si oui, lesquels ?)
  2. Mêmes questions pour l'ensemble   des parties de   cofinies, c'est-à-dire de complémentaire fini.

Exercice 2-6 modifier

Soit   un ensemble. On considère l'ensemble ordonné  .

  1. Montrer que tout sous-ensemble   admet dans   une borne inférieure  .
  2. On fixe désormais un ensemble   de parties de   et pour chaque  , on pose
     , puis  .
    Montrer que  .
  3. Montrer que si   alors  . La réciproque est-elle vraie ?
  4. Pour toute partie   de  , montrer que  , et en déduire que  .

Exercice 2-7 modifier

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Ordre lexicographique ».

On considère la relation   sur   définie par :  .

  1. Montrer que c'est une relation d'ordre.
  2. L'ensemble   admet-il des éléments maximaux ? des éléments minimaux ?
  3. Est-ce que toute partie non vide de   admet un plus grand élément ?

Exercice 2-8 modifier

Soit   un espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). On considère l'ensemble   des parties libres de  , ordonné par l'inclusion.

  1. Démontrer formellement que  .
  2.   a-t-il des éléments minimaux ? un élément minimum ?
  3.   a-t-il des éléments maximaux ? un élément maximum ?

Exercice 2-9 modifier

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Treillis (ensemble ordonné) ».

On considère les parties d'un ensemble ordonné  .

  1. Montrer que la partie   a une borne supérieure si et seulement si   a un maximum.
  2. Montrer que la partie   a une borne supérieure si et seulement si   a un minimum.
  3. On dit que   est un treillis complet si dans  , toute partie a une borne supérieure. Montrer que le segment réel   (muni de l'ordre usuel) est un treillis complet.
  4. Soit   un treillis complet. Démontrer que chaque partie   de   admet aussi une borne inférieure. (Une piste : en notant   l'ensemble des minorants de   et   la borne supérieure de  , montrer que tout élément de   est supérieur ou égal à  .)

Exercice 2-10 modifier

Soit   une relation binaire sur un ensemble  . On définit, sur l'ensemble   des suites   à valeurs dans  , une relation   par :

 .
  1. Montrer que si   est transitive alors   est transitive.
  2. Démontrer la réciproque.

Exercice 2-11 modifier

Dans l'ensemble ordonné   (  divise  ), l'ensemble   a-t-il :

  1. des éléments maximaux ?
  2. un élément maximum ?
  3. une borne supérieure ?

Dans l'ensemble ordonné  , montrer que toute paire admet une borne inférieure et une borne supérieure et les reconnaître.

Exercice 2-12 modifier

Soit   la relation sur   définie par :

 .
  1. Montrer que   est une relation d'ordre.
  2. Le sous-ensemble   a-t-il, pour cet ordre :
    1. un plus petit élément ?
    2. des éléments minimaux ?
    3. une borne inférieure ?
    4. des éléments maximaux ?
    5. une borne supérieure ?
    6. un plus grand élément ?

Dans chaque cas, préciser le(s)quel(s), en justifiant.

Exercice 2-13 modifier

Soient   un ensemble ordonné et   un élément de  .

  1. Rappeler les définitions formelles de «   est minimum » et «   est minimal ».
  2. Montrer que si   est minimum alors   est l'unique minimal (donc l'unique minimum).
  3. Montrer que si l'ordre est total et si   est minimal, alors il est minimum.
  4. Montrer (par deux exemples) que   peut avoir plusieurs éléments minimaux, ou aucun.
  5. Montrer (par un exemple) que   peut avoir un unique minimal et aucun minimum.

Exercice 2-14 modifier

Soit   un ensemble ordonné. On appelle antichaîne de   toute partie de   dont les éléments sont 2 à 2 incomparables, c'est-à-dire tout ensemble   tel que  . On note   l'ensemble des antichaînes de  .

  1. Dans le cas particulier où   est total, décrire  .
  2. Dans le cas particulier où   est   (où   est un ensemble fixé et   désigne l'ensemble de ses parties), soit   l'ensemble des parties de   à   éléments.
    Montrer que  .
  3. On revient au cas général et l'on munit   de la relation   définie par :
    pour toutes antichaînes   et  ,  .
    Démontrer que   est une relation d'ordre sur  .

Exercice 2-15 modifier

Soient   un ensemble bien ordonné et   une application strictement croissante. Démontrer par induction que

 .

Exercice 2-16 modifier

Soient   et   deux ensembles ordonnés,   une application croissante et   une partie de  .

  1. Montrer que si   existe alors   existe et est égal à  .
  2. Donner un exemple montrant que la propriété devient fausse si l'on remplace   par  .

Exercice 2-17 modifier

Soient   et   deux ensembles ordonnés et   une application croissante.

  1. Montrer que si   est injective alors elle est strictement croissante
  2. Montrer (par un contre-exemple) que la réciproque est fausse.
  3. Montrer que cette réciproque devient vraie si l'on suppose que l'ordre sur   est total.

Exercice 2-18 modifier

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Ordre dense ».

Soit   un ensemble totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure.

On suppose en outre que   a au moins deux éléments, et que l'ordre est dense c'est-à-dire

 .

Montrer que   a au moins la puissance du continu.

Exercice 2-19 modifier

Soient   un sous-ensemble borné non vide de   et   une application croissante.

Prouver les inégalités  .

A-t-on des informations supplémentaires si   est continue ?

Montrer que   et que cette quantité n'est pas nécessairement égale à  .