Série numérique/Convergence absolue

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Critère de Cauchy

Le critère de convergence suivant est un corollaire immédiat du théorème correspondant sur les suites de Cauchy.

Début d’un théorème

Théorème

Une série numérique $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ converge si (et seulement si) :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall q>p\geq N\quad \left|S_{q}-S_{p}\right|=\left|\sum _{k=p+1}^{q}u_{k}\right|<\varepsilon .$

Fin du théorème

Séries absolument convergentes

Définition

• Une série $\sum u_{n}$ est dite absolument convergente lorsque la série $\sum |u_{n}|$ est convergente.
• Une série convergente non absolument convergente est dite semi-convergente.

Début d’un théorème

Théorème

Toute série absolument convergente est convergente.

Fin du théorème

La démonstration est immédiate en utilisant (l'inégalité triangulaire et) le critère de Cauchy. On montre même que la convergence est inconditionnelle, c'est-à-dire conservée par permutation des termes.

La réciproque est fausse : par exemple, la « série harmonique alternée » $\sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}$ et la série $\sum {\frac {\sin n}{n}}$ sont semi-convergentes : voir les exercices sur les séries $\sum {\frac {1}{n}}$ et $\sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}$, la série $\sum {\frac {|\sin n|}{n}}$ et la série $\sum {\frac {\sin n}{n}}$.

Séries semi-convergentes

Contrairement aux séries absolument convergentes, une série semi-convergente peut avoir n'importe quelle somme lorsqu'on modifie l'ordre de ses termes. Plus précisément :

Début d’un théorème

Théorème de réarrangement de Riemann

Soit $\sum u_{n}$ une série semi-convergente. Pour tout couple $(\lambda ,\mu )$ tel que $-\infty \leq \lambda \leq \mu \leq +\infty$, il existe une bijection $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ telle que la suite $(S'_{n})$ des sommes partielles de la série de terme général $u'_{n}=u_{\sigma (n)}$ vérifie :

$\liminf S'_{n}=\lambda \quad {\text{et}}\quad \limsup S'_{n}=\mu$.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $(a_{n})$ la sous-suite de $(u_{n})$ constituée des termes strictement positifs et $(b_{n})$ celle des termes négatifs ou nuls. Puisque $\sum u_{n}$ est semi-convergente, on a

$\sum a_{n}=+\infty$ et $\sum b_{n}=-\infty$.

On écrit le « réarrangement » (la bijection $\sigma$) sous la forme

$u'_{1},u'_{2},\dots =a_{1},\dots ,a_{m_{1}},b_{1},\dots ,b_{k_{1}},a_{m_{1}+1},\dots ,a_{m_{2}},b_{k_{1}+1},\dots ,b_{k_{2}},\dots$,

où les deux suites $(m_{i})$ et $(k_{i})$ sont choisies comme suit : ayant fixé au préalable deux suites réelles $(\lambda _{n})$ et $(\mu _{n})$ telles que $\lambda _{n}<\mu _{n}$, $\lambda _{n}\to \lambda$ et $\mu _{n}\to \mu$, on prend pour $m_{1}$ le plus petit indice tel que $x_{1}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}>\mu _{1}$ (si $\mu _{1}<0$, on prend donc $m_{1}=0$, c'est-à-dire $u'_{1}=b_{1}$), puis pour $k_{1}$ le plus petit indice tel que $y_{1}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}+\sum _{j=1}^{k_{1}}b_{j}<\lambda _{1}$, puis pour $m_{2}$ le plus petit indice tel que $x_{2}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}+\sum _{j=1}^{k_{1}}b_{j}+\sum _{i=m_{1}+1}^{m_{2}}a_{i}>\mu _{2}$, puis pour $k_{2}$ le plus petit indice tel que $y_{2}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}+\sum _{j=1}^{k_{1}}b_{j}+\sum _{i=m_{1}+1}^{m_{2}}a_{i}+\sum _{j=k_{1}+1}^{k_{2}}b_{j}<\lambda _{2}$, etc.

Par construction, $0<x_{n}-\mu _{n}\leq a_{m_{n}}\to 0$ et $0<\lambda _{n}-y_{n}\leq -b_{k_{n}}\to 0$ donc les deux sous-suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ de la suite $(S'_{n})$ des sommes partielles tendent respectivement vers $\mu$ et $\lambda$, et puisque $(S'_{n})$ « oscille entre ces deux sous-suites », toutes ses valeurs d'adhérence sont comprises entre ces deux valeurs.