Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie

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Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie
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Chapitre no 33
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
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Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée »Modifier

Rappel des choix de convention d'un quadripôle linéaire en A.R.Q.S.Modifier

En complexe associée au r.s.f. [1] : convention générateur de la sortie du réseau dipolaire "source + réseau quadripolaire", convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire "réseau quadripolaire + charge"

     Déjà traité dans le paragraphe « notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le cadre quelconque de l'A.R.Q.S. [2], repris ici dans celui de l'électricité complexe associée au r.s.f. [1] ; ci-contre schéma retranscrit en électricité complexe associée au r.s.f. [1] avec explication ci-dessous :

  • le choix de la convention d'entrée est fait de façon à ce que la source soit en convention générateur, le réseau dipolaire sur lequel la source est fermée, c.-à-d. constitué du Q.L.P. [3], [4] fermé sur le récepteur et vu des bornes d'entrée en bleu ci-contre étant en convention récepteur,
  • le choix de la convention de sortie est fait de façon à ce que le récepteur encore appelé « charge » soit en convention récepteur, le réseau dipolaire alimentant la « charge » c.-à-d. constitué du Q.L.P. [3] alimenté par la source et vu des bornes de sortie en rouge ci-contre étant en convention générateur ;

     conventions d'écriture des grandeurs « tension ou intensité de courant » [5] :

  • une tension d'entrée de valeur moyenne nulle c.-à-d. sans composante permanente [6], par exemple purement sinusoïdale est notée , on a donc «»,
  • dans le cas où la tension d'entrée est purement sinusoïdale, sa valeur efficace est notée , on a donc dans ce cas « »,
  • une tension d'entrée dépendant du temps et a priori de valeur moyenne non nulle c.-à-d. avec composante permanente [6] est notée et correspond à «»,
  • une tension d'entrée ne dépendant pas du temps donc en régime permanent [6] est notée , on a donc «» avec « puisque ».

Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »Modifier

     Après avoir introduit les grandeurs instantanées complexes associées aux grandeurs instantanées sinusoïdales ainsi que les grandeurs efficaces complexes et les impédances complexes des D.P.L. [7], une fonction de transfert harmonique du Q.L.P. [3] fermé sur une « charge d'impédance complexe » est définie par

«» où
« est la tension instantanée complexe de sortie ou l'intensité instantanée complexe du courant de sortie »,
« est la tension instantanée complexe d'entrée ou l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée »,
«[8] est la tension efficace complexe de sortie ou l'intensité efficace complexe du courant de sortie » et
«[9] est la tension efficace complexe d'entrée ou l'intensité efficace complexe du courant d'entrée » ;
  • « le module de la fonction de transfert définit son gain noté » soit
    «»,
  • « l'argument de la fonction de transfert définit sa phase notée » soit
    «» et
  • « la forme trigonométrique de la fonction de transfert » s'écrit
    «».

Représentation symbolique du transfert par schéma unifilaireModifier

Représentation du transfert d'un Q.L.P. [3] par schéma unifilaire [10] avec chaîne de rétroaction en tiretés rouges

     Voir ci-contre : une grandeur d'entrée tension ou intensité de courant[11] est imposée au Q.L.P. [3] qui la transforme en grandeur de sortie tension ou intensité de courant[11] [12].

     Remarques : Bien entendu les flèches sur le fil d'entrée ou sur celui de sortie ne veulent absolument pas dire qu'il y a « circulation de la grandeur » ce serait totalement stupide pour une tension mais signifient qu'il y a, provenant de la source, « apport de l'information » au Q.L.P. [3] puis, provenant du Q.L.P. [3], « restitution de l'information transformée » au récepteur situé en aval du Q.L.P. [3] ;

     Remarques : la transformation effectuée par le Q.L.P. [3] peut être « voulue » on veut empêcher certaines fréquences de passer et si le but recherché est atteint c'est parfait ou « une conséquence de la mauvaise qualité du Q.L.P. [3] » existence de défauts qu'il faut donc chercher à éliminer ;

     Remarques : il est possible d'ajouter une « chaîne de rétroaction » en tiretés rouges sur le schéma unifilaire dans le but de stabiliser ou déstabiliser le signal de sortie, pour cela on renvoie à l'entrée un signal dépendant du signal de sortie et, ce signal renvoyé à l'entrée subissant de nouveau le transfert engendre une stabilisation ou une déstabilisation

Les quatre fonctions de transfert harmoniquesModifier

Amplification complexe en tensionModifier

     À partir de la tension d'entrée et la tension de sortie en r.s.f. [1] on définit l'« amplification complexe en tension » «» [13] sans unité :

  • son module définit le « gain en tension » «» et
  • son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée » «».

Amplification complexe en courantModifier

     À partir de l'intensité du courant d'entrée et celle du courant de sortie en r.s.f. [1] on définit l'« amplification complexe en courant » [14] «» [15] sans unité :

  • son module définit le « gain en courant » [16] «» et
  • son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur celle du courant d'entrée » «».

Transimpédance complexeModifier

     À partir de l'intensité du courant d'entrée et la tension de sortie en r.s.f. [1] on définit la « transimpédance complexe » «» [17] en  :

  • son module définit la « transimpédance » [18] «» en et
  • son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur l'intensité du courant d'entrée » «».

Transadmittance complexeModifier

     À partir de la tension d'entrée et l'intensité du courant de sortie en r.s.f. [1] on définit la « transadmittance complexe » «» [19], [20] en  :

  • son module définit la « transadmittance » [18] «» [21] en et
  • son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur la tension d'entrée » «».

Propriétés fondamentales d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »Modifier

     Il sera aisé de vérifier les propriétés énoncées ci-dessous sur tous les exemples traités en cours et en exercices :

  • « toute fonction de transfert d'un Q.L.P. [3] fermé sur une charge est indépendante du dipôle source situé en amont de l'entrée », c.-à-d. du générateur de fonctions de modèle générateur de tension ou du générateur de fonctions de modèle générateur de courant , en effet ce qui importe c'est la tension instantanée complexe d'entrée et non la façon dont cette tension est construite à l'aide de la source,
  • « toute fonction de transfert d'un Q.L.P. [3] fermé sur une charge est dépendante du dipôle d'utilisation situé en aval de la sortie », c.-à-d. de la charge , en effet il est évident que l'amplification complexe en tension ou la transimpédance complexe en dépend puisque son absence ou présence modifie la tension instantanée complexe de sortie de même l'amplification complexe en courant ou la transadmittance complexe en dépend puisque son absence ou présence modifie l'intensité instantanée complexe du courant de sortie ; il est donc impératif pour pouvoir évaluer la fonction de transfert de connaître la « charge » placée en sortie [22].

     Remarques : seules l'amplification complexe en tension et la transimpédance complexe ont un intérêt en sortie ouverte en effet, en sortie ouverte entraîne la nullité des deux autres et

     Remarques : seules l'amplification complexe en courant et la transadmittance complexe ont un intérêt en sortie court-circuitée en effet, en sortie court-circuitée entraîne la nullité des deux autres.

Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phaseModifier

Définition du gain en dBModifier

     Le gain associé à une fonction de transfert étant défini par , le gain en dB l'est par :

  • « pour les deux fonctions de transfert sans unité » à savoir l'amplification complexe en tension et l'amplification complexe en courant,
  • « pour les deux fonctions de transfert avec unité » où est un gain de référence exprimée dans la même unité que la fonction de transfert considérée à savoir par exemple pour la transimpédance complexe et pour la transadmittance complexe[23].

     Remarque : le choix du facteur introduit dans la définition du gain en décibels pour les quatre fonctions de transfert résulte
     Remarque : de l'expression de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance en fonction de la tension efficace aux bornes de ce dernier ou de l'intensité efficace du courant le traversant soit [24] et
     Remarque : de la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par un conducteur ohmique de résistance «» ;

     Remarque : or un gain en tension efficace aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance ou un gain en intensité efficace de courant traversant le conducteur ohmique de résistance de valeur conduisant à un gain en puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique de résistance de valeur ,
     Remarque : la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par ce conducteur ohmique de résistance , le choix du facteur dans celle du gain en décibels en tension efficace aux bornes de ce conducteur ohmique de résistance ou dans celle du gain en décibels en intensité efficace de courant traversant ce conducteur ohmique de résistance ou c.-à-d. que les trois gains en décibels en puissance électrique moyenne, en tension efficace et en intensité efficace de courant ont la même valeur en décibels.

Définition du diagramme de Bode associé à la fonction de transfert H(jω) = G(ω) e[jφ(ω)], courbe de gain et courbe de phaseModifier

     Le diagramme de Bode [25] associé à la fonction de transfert est l'ensemble des deux courbes suivantes en échelle semi-logarithmique [26] :

  • la courbe de gain qui est le graphe de en fonction de la fréquence par prolongement on appelle encore « courbe de gain » le graphe de en fonction de la pulsation [27] ou le graphe de en fonction de la fréquence réduite [27] est une fréquence caractéristique du transfert et
  • la courbe de phase qui est le graphe de en fonction de la fréquence par prolongement on appelle encore « courbe de phase » le graphe de en fonction de la pulsation [27] ou le graphe de en fonction de la fréquence réduite [27], étant la même fréquence caractéristique du transfert que précédemment.

     Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences [28] : Une « décade » de l'axe des fréquences en échelle logarithmique est l'intervalle entre une fréquence quelconque et la fréquence dix fois plus grande , toutes les décades ont donc la même largeur en échelle logarithmique car  ;

          Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : ainsi entre et il y a « quatre décades » comme il y a « quatre décades » entre et  ;

          Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : remarque : notez aussi qu'entre les fréquences et il y a « décade » en particulier entre et il y a «décade » [29].

Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.Modifier

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordreModifier

     Une fonction de transfert est dite du « 1er ordre » [30] quand, écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en, le « dénominateur est un polynôme de degré » ;

     la fonction de transfert sera dite « sous forme normalisée » si le « monôme de degré de est », ainsi une fonction de transfert du « 1er ordre » s'écrit, « sous forme normalisée », selon

«» avec «» et « polynôme de degré ou » [31].

     Remarque : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient « est » [32] et homogène à une constante de temps, on pose alors «» et la fonction de transfert du « 1er ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon

«» avec «» et « polynôme de degré ou » [33] ou,
en posant «» se réécrire sous forme normalisée «» ou encore,
en introduisant la « pulsation réduite » se réécrire sous forme normalisée «» [34].

Fonction de transfert du 1er ordre fondamentalModifier

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre fondamentalModifier

     Une fonction de transfert du 1er ordre [35] est dite « du 1er ordre fondamental » ssi «» avec « homogène à un temps » et « de même homogénéité que le transfert harmonique », définissant le transfert statique [36] ou

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre fondamental » ssi «» avec « homogène à une pulsation » et « de même homogénéité que le transfert harmonique », définissant le transfert statique [36] ou enfin

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre fondamental » ssi «» [34] avec « pulsation réduite sans dimension » [37] et « de même homogénéité que le transfert harmonique », définissant le transfert statique [36].

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »Modifier

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. [1] de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant » avec « la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. [38] » [39], [40] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte » [41] avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte » [41] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité c.-à-d. «» [41] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. [38] alimenté sous tension efficace complexe d'entrée » [41], [42] soit « » [41] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée

«» [41] correspondant effectivement à un 1er ordre fondamental [43]
de « transfert statique », de « constante de temps » ou de « pulsation particulière » [41], [44].

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dBModifier

     Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1er ordre fondamental s'écrivant «» est une fonction de , de jusqu'à , il s'agit donc d'un passe-bas dans la mesure où il existe « nécessairement » [45] une « fréquence de coupure à de fréquence réduite correspondant à [46] » [47] soit, avec l'équation ou et, étant nécessairement ,

la « valeur de la fréquence réduite de coupure à est » ou encore,
la « valeur de la pulsation de coupure à  est » [48].

     En conclusion tout système du 1er ordre fondamental est un « passe-bas », la « pulsation de coupure à étant », l'« intervalle passant en fréquences est » et la « bande passante à [49] ».

     Reprenant l'exemple du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée sous et
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité ,
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. c'est un « passe-bas » de « fréquence de coupure à  : » [41] soit, avec et , une fréquence de coupure à  : d'où un intervalle passant en fréquences [50].

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquencesModifier

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquencesModifier

     Se situant en B.F. [51] si «» ce qui est « réalisé à moins de près si » [52],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F. [51] de la fonction de transfert selon » [53] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F. [51] » dont nous tirons le « gain en dB à B.F. [51] » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [25] se confond à B.F. [51] c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote B.F. [51] » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F. [51] » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à B.F. [51] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote B.F. [51] » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F. [51] » [54] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à B.F. [51] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote B.F. [51] » [54].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquencesModifier

     Se situant en H.F. [55] si «» ce qui est « réalisé à moins de près si » [56],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F. [55] de la fonction de transfert selon » [53] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F. [55] » dont nous tirons le « gain en dB à H.F. [55] » équation de la droite décroissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [25] se confond à H.F. [55] c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote H.F. [55] » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F. [55] » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à H.F. [55] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote H.F. [55] » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F. [55] » [54] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à H.F. [55] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote H.F. [55] » [54].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de BodeModifier

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode [25] d'un 1er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     On trace d'abord les asymptotes B.F. [51] de pente nulle et H.F. [55] de pente « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à » [57], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode [25] en rouge ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à », il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] au-dessous de l'asymptote B.F. [51] » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode [25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. [38] alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs « et » conduisant à une « fréquence de coupure à , », nous en déduisons les propriétés suivantes vérifiées à près :
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification » et
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie »

Tracé de la courbe de phase du diagramme de BodeModifier

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «» [54] qui est une « fonction de » ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est » ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode [25] d'un 1er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     on trace ensuite les asymptotes B.F. [51] de pente nulle et de valeur et H.F. [55] de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre  ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode [25] en rouge ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à » [59], il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » [60] ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode [25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. [38] alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs « et » que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à , » ;
     la courbe de phase on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode [25] en la supposant « linéaire entre et depuis l'asymptote B.F. [51] jusqu'à l'asymptote H.F. [55] et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur »Modifier

     À H.F. [55] c.-à-d. si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » [34] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. [1] « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par » correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » [61] d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à H.F. [55] soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « intégrateur » [62] du système linéaire du 1er ordre fondamental, cela se manifeste par
          En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
          En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Gain statique et bande passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension », influence d'une charge résistive en aval de la sortieModifier

     Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée souset en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité : « » [41], son gain statique valant «[41] » et sa bande passante à c.-à-d. la largeur, en fréquences, de l'intervalle passant à « » [41], nous en déduisons

le produit « gain statique*bande passante à » en sortie ouverte «» [41].

     Amplification complexe en tension du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée souset
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie aux bornes du condensateur de capacitéfermée sur une charge résistive de résistance : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec une du gain statique et une de la bande passante à , le produit « gain statique*bande passante à » gardant la même valeur que celle en sortie ouverte ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T. [38] en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P. [63] d'attaque le conducteur ohmique de résistance , lequel est en série avec le condensateur de capacité quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation  ;
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous pouvons alors reconnaître un P.D.T.[38] en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P. [63] d'attaque « en série avec l'association d'impédance complexe » et en sortie ouverte aux bornes de cette association et
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous obtenons «» [42] ou, en multipliant haut et bas par et après regroupement de termes, «» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée « » correspondant effectivement à un 1er ordre fondamental donc à un « passe-bas » dont nous tirons

  • le « gain statique » et
  • la « bande passante à » ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. formant le produit « gain statique*bande passante à » « » c.-à-d. qu'on vérifie l'indépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

«»,
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation simultanée
de la bande passante à celle-ci augmentant [64] et du gain statique celui-ci diminuant.

Fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nulModifier

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nulModifier

     Une fonction de transfert du 1er ordre [35] est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «» avec « homogène à un temps » et « d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique [36] étant effectivement nul ou

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «» avec « homogène à une pulsation » et « d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique [36] étant effectivement nul ou enfin

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «» [34] avec « pulsation réduite sans dimension » [37] et « de même homogénéité que le transfert harmonique », le transfert statique [36] étant effectivement nul.

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »Modifier

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. [1] de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant avec la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. [38] » [39], [40] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte » [41] avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte » [41] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance c.-à-d. «» [41] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. [38] alimenté sous tension efficace complexe d'entrée » [41], [42] soit « » [41] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée

« » [41] correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul [65]
de « constante de temps » ou de « pulsation particulière » [66] et de « cœfficient » [67] ou «» [41].

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dBModifier

     Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul s'écrivant «» ou, en divisant haut et bas par pour obtenir un numérateur constant, «» est une fonction de donc de [68], de jusqu'à [69], il s'agit donc d'un passe-haut dans la mesure où il existe « nécessairement » [45] une « fréquence de coupure à de fréquence réduite correspondant à [70] » [47] soit, avec l'équation ou et, étant nécessairement ,

la « valeur de la fréquence réduite de coupure à est » ou encore,
la « valeur de la pulsation de coupure à est » [48].

     En conclusion tout système du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul est un « passe-haut », la « pulsation de coupure à étant », l'« intervalle passant en fréquences est » et la bande non passante à [71] ».

     Reprenant l'exemple du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée sous et
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance ,
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. c'est un « passe-haut » de « fréquence de coupure à  : » [41] soit, avec et , une fréquence de coupure à  : d'où un intervalle passant en fréquences [72].

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquencesModifier

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquencesModifier

     Se situant en B.F. [51] si «» ce qui est « réalisé à moins de près si » [52],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F. [51] de la fonction de transfert selon » [53] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F. [51] » dont nous tirons le « gain en dB à B.F. [51] » équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [25] se confond à B.F. [51] c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote B.F. [51] » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F. [51] » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à B.F. [51] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote B.F. [51] » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F. [51] » [73] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à B.F. [51] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote B.F. [51] » [73].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquencesModifier

     Se situant en H.F. [55] si «» ce qui est « réalisé à moins de près si » [56],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F. [55] de la fonction de transfert selon » [53], [69] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F. [55] » [69] dont nous tirons le « gain en dB à H.F. [55] » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [25] se confond à H.F. [55] c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote H.F. [55] » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F. [55] » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à H.F. [55] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote H.F. [55] » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F. [55] » [73] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [25] se confond à H.F. [55] c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode [25] admet pour « équation de l'asymptote H.F. [55] » [73].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de BodeModifier

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode [25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     On trace d'abord les asymptotes B.F. [51] de pente et H.F. [55] de pente nulle « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à » [74], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode [25] en rouge ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à », il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] au-dessous de l'asymptote H.F. [55] » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode [25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. [38] alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs « et » conduisant à une « fréquence de coupure à , », nous en déduisons les propriétés suivantes vérifiées à près :
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification [75] et
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie »

Tracé de la courbe de phase du diagramme de BodeModifier

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «» [73] qui est une « fonction de » ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est » ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode [25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     on trace ensuite les asymptotes B.F. [51] de pente nulle et de valeur et H.F. [55] de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique en vert ou bleu ci-contre ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode [25] en rouge ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode [25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à » [59], il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » [76] ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode [25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. [38] alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs « et » que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à , » ;
     la courbe de phase on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode [25] en la supposant « linéaire entre et depuis l'asymptote B.F. [51] jusqu'à l'asymptote H.F. [55] et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo dérivateur »Modifier

     À B.F. [51] c.-à-d. si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » [34] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. [1] « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à B.F. [51] soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « dérivateur » [62] du système linéaire du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, cela se manifeste par
          En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
          En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Gain à H.F. et bande non passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »Modifier

     Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P. [3] constitué du P.D.T. [38] alimenté en entrée souset en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance : « » [41], son gain à H.F. [55] valant « et sa bande non passante à c.-à-d. la largeur, en fréquences, de l'intervalle non passant à «