Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste

**Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 17
Chap. préc. :	Introduction au monde quantique : dualité onde-particule
Chap. suiv. :	Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Fonction d'onde de matière et densité volumique de probabilité de présence modifier

Lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste modifier

     Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » ^[1], nous observons une répartition d'éclairement sur l'écran d'observation ^[2] caractérisant la figure d'interférences,
         Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » l'endroit où l'éclairement ^[2] est nul $\;{\big (}$ franges sombres ${\big )}\;$ devant être interprété, lors d'interférences, comme un endroit où aucun photon n'aboutit et
              Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » celui où l'éclairement ^[2] est maximal $\;{\big (}$ franges brillantes ${\big )}\;$ comme le lieu privilégié, lors d'interférences, où les photons parviennent ;

compte-tenu de la dimension de l'éclairement ^[2] « $\;{\mathcal {E}}\;$ en $\;W\cdot m^{-2}\;$ » et de celle du débit « moyen » ^[3] de photons par unité de surface « $\;n_{\gamma ,\;S,\;{\text{moy}}}\;$ en $\;s^{-1}\cdot m^{-2}\;$ » nous proposons le lien suivant

«

\;{\mathcal {E}}=n_{\gamma ,\;S,\;{\text{moy}}}\times h\;\nu \;

» ^[4].

Interprétation statistique : les lieux d'interférences constructives sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est maximal et
Interprétation statistique : les lieux d'interférences destructives sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est minimal.

Interprétation probabiliste : si le « débit de photons incidents est très grand » ^[5], les lieux d'interférences constructives sont les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran est maximale et
Interprétation probabiliste : si le « débit de photons incidents est très grand », les lieux d'interférences destructives sont les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran est minimale ;

     Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, les lieux d'interférences constructives sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran est maximale et
     Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, les lieux d'interférences destructives sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran est minimale,
     Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, ceci ne devenant observable que si le nombre de photons uniques envoyés les uns à la suite des autres est grand ^[5].

Interprétations statistique et probabiliste d'un phénomène d'interférences de particules modifier

     On prolonge les interprétations faites sur les interférences lumineuses dans le paragraphe « lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste » plus haut dans ce chapitre d'où :
      $\succ \;$ interprétation statistique : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences constructives sont ceux où le débit moyen d'arrivée de particules sur l'écran est maximal,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ interprétation statistique : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences destructives sont ceux où le débit moyen d'arrivée de particules sur l'écran est minimal ;

$\succ \;$ interprétation probabiliste : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit » ^[5], les lieux d'interférences constructives sont ceux de probabilité d'arrivée des particules sur l'écran maximale,
$\color {transparent}{\succ }\;$ interprétation probabiliste : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences destructives sont ceux de probabilité d'arrivée des particules sur l'écran minimale et

      $\color {transparent}{\succ }\;$ interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », les lieux d'interférences constructives sont ceux où la probabilité d'arrivée de la particule sur l'écran est maximale,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », les lieux d'interférences destructives sont ceux où la probabilité d'arrivée de la particule sur l'écran est minimale,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », ce phénomène ne devenant observable que si le nombre de particules envoyées les unes à la suite des autres est grand ^[5].

Densité volumique de probabilité de présence et fonction d'onde de matière modifier

Densité volumique de probabilité de présence d'une particule massique ou non massique modifier

     On définit, à tout instant $\;t\;$ et en tout point $\;M\;$ de l'espace, une densité volumique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$ ^[6] d'une particule massique $\;{\big (}$ ou purement énergétique ${\big )}\;$ dépendant des « caractéristiques de la particule » et de l'« environnement avec lequel elle interagit » avec
     On définit, à tout instant $\;\color {transparent}{t}\;$ et en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'espace, ${\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$ probabilité de trouver la particule dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}\;$ ^[7] centré en $\;M\;$ à la date $\;t$ ,
     On définit, à tout instant $\;\color {transparent}{t}\;$ et en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'espace, la probabilité de la trouver dans une expansion tridimensionnelle $\;{\mathcal {V}}_{1}\;$ à la date $\;t\;$ étant $\;\displaystyle \iiint _{{\mathcal {V}}_{1}}{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$ ^[8]^, ^[9] ;

Densité linéique de probabilité de détection de la particule sur l'écran dans l'expérience d'interférences par fentes d'Young ^[10]

Densité linéique de probabilité de détection de la particule sur l'écran quand une seule des fentes d'Young ^[10]

\;F_{1}\;

ou

\;F_{2}\;

est ouverte

     cette densité volumique de probabilité de présence dépend de l'« environnement avec lequel la particule interagit » :
     en effet une particule qui entre dans le système interférentiel des fentes d'Young ^[10] possède, en « tout point de l'espace » et à « tout instant » ^[11], une densité volumique de probabilité de présence différente suivant que les deux fentes sont accessibles ou qu'une seule l'est $\;{\big (}$ la densité étant aussi différente suivant que c'est $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ qui est utilisable ${\big )}$ ,
     voir ci-contre pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule lors de l'expérience d'interférence par fentes d'Young ^[10] et
     voir ci-contre à droite pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule quand une seule des fentes d'Young ^[10] est ouverte ;

il n'y a pas additivité des densités linéiques de probabilité de présence c.-à-d. « $\;{\mathcal {P}}_{l,\;1}+{\mathcal {P}}_{l,\;2}\neq {\mathcal {P}}_{l}\;$ » ^[12]
il n'y a pas additivité dans laquelle ${\mathcal {P}}_{l,\;1}$ , $\;{\mathcal {P}}_{l,\;2}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{l}\;$ sont respectivement les densités linéiques de probabilité de présence de la particule en un point de l'écran d'abscisse $\;x$ , quand les fentes $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ sont seules ouvertes et quand les deux sont ouvertes ^[13] ; ainsi « la densité linéique de probabilité de trouver la particule en un point d'abscisse $\;x\;$ lors des interférences par fentes d'Young ^[10] » n'est pas la somme « des densités linéiques de probabilité de trouver la particule au point d'abscisse $\;x\;$ après être passée par $\;F_{1}\;$ ${\big (}F_{2}\;$ étant fermée ${\big )}\;$ ou $\;F_{2}\;$ ${\big (}F_{1}\;$ étant fermée ${\big )}\;$ » ^[13] ;

on pourrait donc dire que les interférences nécessitent que la particule passe par les deux fentes à la fois, mais ce serait inapproprié $\;{\big (}$ une particule étant, par définition, localisée dans l'espace ${\big )}$ , il est préférable de dire que « l'onde associée à la particule passe par les deux fentes à la fois ».

Fonction d'onde de matière modifier

Rappel sur la lumière modifier

À une onde progressive sinusoïdale lumineuse $\;{\big (}$ O.P.H. ${\big )}\;$ de fréquence $\;\nu$ , on associe une grandeur réelle vibrante $\;{\Big (}$ un champ électromagnétique $\;\left\lbrace {\vec {E}}\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace \;$ défini en tout point $\;M\;$ et à tout instant $\;t$ , champ simplement noté $\;s\;$ ^[14] ${\Big )}\;$ que l'on modélise en la considérant comme la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ d'une grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(t)={\underline {\mathcal {A}}}(M)\;\exp \!\left(i\;2\;\pi \;t\right)\;$ où « $\;{\underline {\mathcal {A}}}(M)\;$ est l'amplitude complexe de l'onde » ^[15] ;

     le phénomène d'interférences par les fentes d'Young ^[10] s'explique alors, en tout point $\;M\;$ du champ d'interférences, par la superposition des ondes passant par $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}$ , ceci donnant
          le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, une onde résultante d'« amplitude complexe $\;{\underline {\mathcal {A}}}(M)={\underline {\mathcal {A}}}_{1}(M)+{\underline {\mathcal {A}}}_{2}(M)\;$ » et
          le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;M\;$ ^[2] du champ d'interférences $\;{\mathcal {E}}(M)\propto \vert {\underline {\mathcal {A}}}(M)\vert ^{2}\;$ » ou « $\;{\mathcal {E}}(M)\propto \vert {\underline {\mathcal {A}}}_{1}(M)+{\underline {\mathcal {A}}}_{2}(M)\vert ^{2}\;$ », soit
           le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;\color {transparent}{M}\;$ du champ d'interférences « $\;{\mathcal {E}}(M)={\mathcal {E}}_{1}(M)+{\mathcal {E}}_{2}(M)+2\;{\sqrt {{\mathcal {E}}_{1}(M)\;{\mathcal {E}}_{2}(M)}}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ » ^[16]
             le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;\color {transparent}{M}\;$ où « $\;\Delta \varphi \;$ est le déphasage entre les ondes passées par $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;$ au point $\;M\;$ considéré »,
             le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {E}}_{1}(M)\\{\text{et}}\\{\mathcal {E}}_{2}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ étant l'éclairement ^[2] que l'on obtiendrait en $\;M\;$ en occultant la fente $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F_{2}\\{\text{ou}}\\F_{1}\end{array}}\right\rbrace$ .

Intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young modifier

     L'éclairement lumineux ^[2] $\;{\mathcal {E}}\;$ d'une onde monochromatique de fréquence $\;\nu$ étant lié au débit « moyen » surfacique de photons $\;n_{\gamma ,\,s}\;$ par « $\;{\mathcal {E}}=h\;\nu \times n_{\gamma ,\,s}\;$ » ^[17] ou, en multipliant par $\;dS$ ,
     la puissance lumineuse « moyenne » reçue par $\;dS$ , notée $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle$ , étant liée au débit « moyen » de photons atteignant $\;dS\;$ à savoir $\;n_{\gamma ,\,dS}=n_{\gamma ,\,s}\;dS$ , par « $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle =h\;\nu \times n_{\gamma ,\,dS}\;$ » ^[16],
     nous pouvons écrire le débit « moyen » de photons atteignant $\;dS\;$ « $\;n_{\gamma ,\,dS}\;$ » en fonction des débits « moyens » de photons qui atteindraient $\;dS\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}n_{1,\,\gamma ,\,dS}\\{\text{et}}\\n_{2,\,\gamma ,\,dS}\end{array}}\right\rbrace \;$ en occultant la fente $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F_{2}\\{\text{ou}}\\F_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ » selon

«

\;n_{\gamma ,\,dS}=n_{1,\,\gamma ,\,dS}+n_{2,\,\gamma ,\,dS}+2\;{\sqrt {n_{1,\,\gamma ,\,dS}\!\color {transparent}{A}\color {black}\!n_{2,\,\gamma ,\,dS}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;

» ^[18] soit enfin,

nous pouvons écrire en divisant par le débit global « moyen » de photons émis par la source et pouvant « interférer » ^[19] « $\;n_{\gamma ,\,{\text{source}}}\;$ » ^[20], nous obtenons la relation suivante

«

\;{\dfrac {n_{\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}={\dfrac {n_{1,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}+{\dfrac {n_{2,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}+2\;{\sqrt {{\dfrac {n_{1,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}\;{\dfrac {n_{2,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;

»
représentant aussi
le pourcentage « moyen » de photons atteignant

\;dS\;

en « interférant » ^[19] relativement aux photons émis par la source et « pouvant interférer » ^[19]
ou pouvant être interprété comme
la probabilité statistique « moyenne » qu'un photon pris parmi les photons émis par la source et « pouvant interférer » ^[19], « interfère » ^[19] en atteignant

\;dS\;

^[21]^, ^[22].

Traduction lors d'« interférences » ^[19] par photon unique : la probabilité « moyenne » $\;p_{\gamma ,\,dS}\;$ que le photon atteigne $\;dS\;$ en « interférant » ^[19] s'identifiant à $\;{\dfrac {n_{\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}$ , celle que ce photon passe par $\;F_{1}$ $\;{\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ c.-à-d. $\;p_{1,\,\gamma ,\,dS}\;$ à ${\dfrac {n_{1,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}\;$ et celle que ce photon passe par $\;F_{2}$ $\;{\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ c.-à-d. $\;p_{2,\,\gamma ,\,dS}\;$ à ${\dfrac {n_{2,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}$ , nous en déduisons

«

\;p_{\gamma ,\,dS}=p_{1,\,\gamma ,\,dS}+p_{2,\,\gamma ,\,dS}+2\;{\sqrt {p_{1,\,\gamma ,\,dS}\!\color {transparent}{A}\color {black}\!p_{2,\,\gamma ,\,dS}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;\;\;({\mathfrak {a}})\;

» ^[23].

Prolongement de l'interprétation précédente aux interférences par fentes d'Young d'ondes de matière associées à des particules massiques modifier

     Définissant, comme dans le paragraphe « intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young » plus haut dans ce chapitre,
     Définissant, la probabilité « moyenne » $\;p_{{\text{part}},\,dS}\;$ que la particule ^[24] atteigne $\;dS\;$ en « interférant » ^[19] ainsi que
     Définissant, les probabilités « moyennes » $\;p_{1,\,{\text{part}},\,dS}\;$ et $\;p_{2,\,{\text{part}},\,dS}\;$ que la particule ^[24] passe par $\;F_{1}\;$ ${\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}$ $\;{\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}$ ,
     on doit obtenir une relation identique à $\;({\mathfrak {a}})\;$ entre les différentes probabilités à savoir « $\;p_{{\text{part}},\,dS}=p_{1,\,{\text{part}},\,dS}+p_{2,\,{\text{part}},\,dS}+2\;{\sqrt {p_{1,\,{\text{part}},\,dS}\!\color {transparent}{A}\color {black}\!p_{2,\,{\text{part}},\,dS}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;\;\;({\mathfrak {a}}')\;$ »
     on doit obtenir une relation identique à $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ dans laquelle doit apparaître un déphasage $\;\Delta \varphi \;$ mais auparavant
     on doit obtenir une relation identique à $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ il faut introduire l'analogue des grandeurs instantanées complexes des ondes passant par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ à savoir $\;{\underline {s}}_{1}(M,\,t)\;$ ou $\;{\underline {s}}_{2}(M,\,t)\;$ ^[25] et encore
     on doit obtenir une relation identique à $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ il faut introduire l'analogue des amplitudes complexes des ondes passant par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ à savoir $\;{\underline {\mathcal {A}}}_{1}(M)\;$ ou $\;{\underline {\mathcal {A}}}_{2}(M)\;$ ^[26].

Notion de fonction d'onde de matière modifier

On associe, à une particule « quantique » ^[27], une fonction dépendant du point $\;M\;$ et de la date $\;t$ , à valeurs complexes, caractérisant l'état de la particule dans son environnement d'interaction, appelée « fonction d'onde » de la particule « quantique » ^[27] et notée $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ ^[28] ;

     si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;E\;$ en « état stationnaire » ^[29], on peut définir la « fréquence de de Broglie ^[30] de l'onde par $\;E=h\;\nu _{d.B.}\;$ » ^[31] $\Rightarrow$
           si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la composante temporelle de la fonction d'onde varie en « $\;\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;\nu _{d.B.}\;t\right)=\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;{\dfrac {E}{h}}\;t\right)\;$ » ^[32],
           si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la composante spatiale de la fonction d'onde « $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ » étant notée « $\;{\underline {\Psi }}(M)\;$ » $\Rightarrow$
           si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » ^[27] d'énergie $\;E\;$ s'écrit « $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ »
                 si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ où $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\simeq 1,05457182\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ ^[33]
                  si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ où est la « constante réduite de Planck » ^[34].

Le lien entre « fonction d'onde » en un point $\;M\;$ et à la date $\;t\;$ « $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ » et « densité volumique de probabilité de présence » associée « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$ » est analogue ^[35] à celui existant
Le lien entre « grandeur instantanée complexe » au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ « $\;{\underline {s}}(M,\,t)\;$ » ^[36] et « puissance lumineuse instantanée reçue par unité de surface » associée « $\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)}{S_{M}}}\;$ », à savoir

«

\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)}{S_{M}}}\;

»

\;{\big (}

définie en

\;M\;

et à l'instant

\;t{\big )}

,

\;\propto \;

à «

\;\left[s(M,\,t)\right]^{2}\;

» avec «

\;s(M,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \left[{\underline {s}}(M,\,t)\right]\\{\text{ou}}\\\Im \left[{\underline {s}}(M,\,t)\right]\end{array}}\right.\;

^[36] » ^[37] d'où, par analogie,
«

\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;

»

\;{\big (}

définie en

\;M\;

et à l'instant

\;t{\big )}

,

\;\propto \;

à «

\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;

» avec «

\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;

» la « fonction d'onde » associée ^[38] ;

     on choisit alors le facteur de proportionnalité entre « la densité volumique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$ » $\;{\big (}$ définie en $\;M\;$ et à l'instant $\;t{\big )}\;$ et
     on choisit alors le facteur de proportionnalité entre « le carré du module de la fonction d'onde $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$ » $\;{\big (}$ définie au même point $\;M\;$ et au même instant $\;t{\big )}\;$
     on choisit alors le facteur de proportionnalité égal à $\;1\;$ c.-à-d. qu'on choisit, pour définir la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ à un facteur de phase près, le lien suivant

«

\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]^{*}\;

» ^[39]^, ^[40].

     Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie $\;E\;$ fixée, la dépendance de la fonction d'onde en temps se faisant selon « $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ » ^[41],
     Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ fixée, la densité volumique de probabilité de présence se réécrit « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\vert \,{\underline {\Psi }}(M)\,\vert ^{2}\;$ » d'où celle-ci
     Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ fixée, la densité volumique de probabilité de présence est indépendante du temps ;

Remarque : attention, dans le cas général d'une particule qui n'est pas dans un état stationnaire d'énergie fixée, la fonction d'onde n'a pas la forme précédemment introduite et en particulier la dépendance en temps ne se fait pas sous forme d'un facteur exponentiel imaginaire pur, ce qui a pour conséquence que la densité volumique de probabilité de présence dépend du temps.

Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste modifier

     Soit « $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\;$ la fonction d'onde de l'électron au point $\;M\;$ du champ d'interférences et à l'instant $\;t\;$ quand la fente $\;F_{2}\;$ est occultée » et
     Soit « $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\;$ celle de l'électron au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t\;$ quand la fente $\;F_{1}\;$ est obturée » ;
     lors du phénomène d'« interférence » de l'électron ^[19] par fentes d'Young ^[10], la « fonction d'onde de ce dernier au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t$ notée $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$
                 lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier est la superposition des deux fonctions d'onde $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\;$ et $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\;$ » ^[42] soit
                 lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier est « $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\;$ » ;

on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t\;$ notée $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$ » par « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$ » ^[43] soit
on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]\,\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]^{*}\;$ » ^[39] ou,

     on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence avec les densités volumiques de probabilité de présence au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t\;$ quand les fentes $\;F_{2}\;$ ou $\;F_{1}\;$ sont occultées c.-à-d. respectivement $\;{\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$ ou $\;{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\,\vert ^{2}$ ,
     on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)={\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)+{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)+\left\lbrace \left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]^{*}+\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]^{*}\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]\right\rbrace \;$ » ^[39]^, ^[44]
     on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence « $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=}$ prouvant que la densité de probabilité de présence n'est pas une grandeur additive ^[45].

L'onde associée à un électron d'énergie $\;E\;$ et de norme de quantité de mouvement $\;p\;$ fixées quand la fente $\;F_{2}\;$ est occultée, peut être considérée dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme » ^[46], sa fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)$ $\;{\big \{}$ analogue à une O.P.P.H. ^[47] ${\big \}}\;$ peut alors s'écrire « $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)={\underline {A}}_{1}\;\exp \!\left(\!i\;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;r_{1}\!\right)\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;\nu _{d.B.}\;t\right)\;$ » ^[32] ou encore « $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)$ $={\underline {A}}_{1}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r_{1}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ » ^[31]^, ^[48] et simultanément
l'onde associée à cet électron d'énergie $\;E\;$ et de norme de quantité de mouvement $\;p\;$ fixées quand la fente $\;F_{1}\;$ est occultée $\;{\big (}$ pouvant elle aussi être considérée dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme » ^[46] ${\big )}$ , sa fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)$ $\;{\big \{}$ analogue à une O.P.P.H. ^[47] ${\big \}}\;$ peut s'écrire « $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)={\underline {A}}_{2}\;\exp \!\left(\!i\;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;r_{2}\!\right)\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;\nu _{d.B.}\;t\right)\;$ » ^[32] ou encore « $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)$ $={\underline {A}}_{2}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r_{2}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ » ^[31]^, ^[48] ;

     on en déduit, par report dans « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)={\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)+{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)+\left\lbrace \left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]^{*}+\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]^{*}\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]\right\rbrace \;$ » ^[39] avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}\\{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}\end{array}}\right\rbrace$ ,
     on en déduit, « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \;\left\lbrace \exp \!\left[i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;(r_{1}-r_{2})\right]\;\exp \!\left[i\;(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right]+\exp \!\left[i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;(r_{2}-r_{1})\right]\;\exp \!\left[i\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\right\rbrace \;$ » dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{1}=\mathrm {arg} \left({\underline {A}}_{1}\right)\\\varphi _{2}=\mathrm {arg} \left({\underline {A}}_{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
     on en déduit, « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \;\cos \!\left[{\dfrac {p}{\hbar }}\;(r_{1}-r_{2})+\varphi _{1}-\varphi _{2}\right]\;$ » ^[49] ou encore, en notant « $\;\delta =r_{1}-r_{2}\;$ la différence de marche au point $\;M\;$ »,

«

\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \;\cos \!\left[{\dfrac {p}{\hbar }}\;\delta +\varphi _{1}-\varphi _{2}\right]\;

».

Pour la détermination des conditions d'interférences constructives et destructives, voir le paragraphe « cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes » du chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ^[50], les principaux résultats étant rappelés ci-après :

interférences constructives si « $\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;\delta +\varphi _{1}-\varphi _{2}=2\;m\;\pi \;$ », $\;m\in \mathbb {Z}$ , soit encore « $\;\delta =r_{1}-r_{2}={\dfrac {\hbar }{p}}\left(2\;m\;\pi +\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$ » ou, en introduisant $\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}=\hbar \;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;$ ^[31]^, ^[48], « $\;\delta =$ $\lambda _{d.B.}\left(m+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2\;\pi }}\right)\;$ » prouvant que deux points à interférences constructives $\;M_{\text{max}}\;$ ont une différence de marche différant d'un multiple de la longueur d'onde de de Broglie ^[30] de la particule, la densité volumique de probabilité de présence en ces points $\;M_{\text{max}}\;$ s'écrivant selon « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{max}},\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert =\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert +\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$ » ^[51],
interférences destructives si « $\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;\delta +\varphi _{1}-\varphi _{2}=(2\;m+1)\;\pi \;$ », $\;m\in \mathbb {Z}$ , soit encore « $\;\delta =r_{1}-r_{2}={\dfrac {\hbar }{p}}\left[(2\;m+1)\;\pi +\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$ » ou, en introduisant $\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}=\hbar \;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;$ ^[31]^, ^[48], « $\;\delta =$ $\lambda _{d.B.}\left(m+{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2\;\pi }}\right)\;$ » prouvant que deux points à interférences destructives $\;M_{\text{min}}\;$ ont une différence de marche différant d'un multiple de la longueur d'onde de de Broglie ^[30] de la particule, la densité volumique de probabilité de présence en ces points $\;M_{\text{min}}\;$ étant « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{min}},\,t)=$ $\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}-2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert =\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert -\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$ » ^[52] ;
on vérifie aussi que deux points à interférences de nature différente $\;{\big (}$ c.-à-d. constructive ou destructive ${\big )}\;$ ont une différence de marche différant d'une demi-longueur d'onde de de Broglie ^[30] de la particule à un multiple de la longueur d'onde près.

Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un photon en terme probabiliste modifier

On peut entièrement réitérer le paragraphe « explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste » plus haut dans ce chapitre en remplaçant le terme « électron » par celui de « photon » $\;{\big (}$ la longueur d'onde de de Broglie ^[30] de l'électron étant remplacée par la longueur d'onde dans le vide du photon ${\big )}$ .

Principe de complémentarité modifier

Le principe de complémentarité a été énoncée par Niels Bohr ^[53] en

\;1927

.

Énoncé : Une particule « quantique » ^[27] ne peut se comporter en même temps comme une onde et comme un corpuscule, les aspects corpusculaire et ondulatoire de la particule « quantique » ^[27] sont les représentations complémentaires d'une même réalité $\;{\big [}$ par exemple si la particule « quantique » ^[27] est en présence de diaphragme et si sa longueur d'onde de de Broglie ^[30] $\;\lambda _{d.B.}\;$ est $\;\ll a\;$ ${\big (}$ dimension du diaphragme ${\big )}$ , la particule se comportera comme un corpuscule, sinon elle se comporte comme une onde ^[54] ${\big ]}$ ;

Énoncé : dans l'expérience d'interférence par fentes d'Young ^[10], la particule se comporte comme une onde et ne peut, dans le courant de cette expérience, se comporter comme un corpuscule, il est donc impossible de savoir par quelle fente la particule serait passée car le savoir rendant certain le trajet de la particule celle-ci aurait un comportement de corpuscule $\;{\big [}$ si on met un détecteur sur une des fentes on peut alors savoir par quelle fente la particule est passée ^[55], la particule a alors un comportement de corpuscule et ne peut plus avoir un comportement d'onde dans le courant de l'expérience, effectivement on n'observe plus de figures d'interférences ${\big ]}$ .

Notes et références modifier

↑
Nous avons vu qu'il ne pouvait y avoir interférences que si les ondes se superposant provenaient de deux sources cohérentes entre elles et pour cela, le plus simple est de réaliser la division d'une même onde : cela se fait
- par « division du front d'onde » lorsque les ondes qui interfèrent entre elles proviennent de différents points de l'onde $\;{\big (}F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ de l'onde incidente lors de la division par fentes d'Young par exemple ${\big )}$ , ou
- par « division d'amplitude » lorsque les ondes interférant entre elles proviennent de la division de l'amplitude d'un même point de l'onde $\;{\big (}$ la division se faisant le plus souvent par lame semi-réfléchissante ${\big )}$ ;
seul un exemple d'interférences lumineuses par division du front d'onde a été fourni dans le paragraphe « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, voir la note « ¹⁰ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 et ^2,6 Voir le paragraphe « notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Débit « moyen » car l'éclairement est la puissance moyenne par unité de surface.
↑ $\;h\;\nu \;$ étant l'énergie d'un photon associé à une onde monochromatique de fréquence $\;\nu$ , $\;h\simeq 6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ étant la constante de Planck $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « aspect corpusculaire de la lumière » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big \}}$ .
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit essentiellement la théorie des quanta, voir la note « ³⁴ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 De façon à pouvoir y appliquer la loi statistique des grands nombres à savoir « dans une série de valeurs d'une grandeur définie dans un échantillon, la fréquence relative d'une valeur quelconque $\;{\big (}$ c.-à-d. le nombre de fois où la grandeur est trouvée dans l'échantillon sur le nombre d'éléments de cet échantillon ${\big )}\;$ est indépendante du nombre d'éléments de l'échantillon » qui a pour corollaire « la probabilité que la grandeur ait une valeur fixée est la fréquence relative de cette valeur dans toute série de valeurs de la grandeur ».
↑ Cette densité volumique de probabilité de présence qui est réelle et positive est a priori « normalisée » c.-à-d. que la probabilité de trouver la particule dans l'espace entier à l'instant $\;t\;$ ${\big [}$ méthode de calcul exposée plus loin dans ce paragraphe ${\big ]}\;$ est égale à $\;1$ .
↑ Voir le paragraphe « définition (d'un volume élémentaire) » dans le chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « notions d'intégrale volumique » dans le chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La normalisation de la densité volumique de probabilité de présence se traduit par $\;\displaystyle \iiint _{{\mathcal {E}}_{3}}{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}=1\;$ où $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ est l'espace tridimensionnel entier $\;{\big [}$ ici l'extension de l'expansion tridimensionnelle étant infinie, l'intégrale volumique est « généralisée » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , elle est définie comme la limite de l'intégrale volumique sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie $\;{\big (}$ par exemple une boule de rayon $\;R{\big )}\;$ dont on fait tendre l'extension vers l'infini $\;{\big (}$ sur l'exemple on fait tendre $\;R\;$ vers l' $\infty {\big )}$ , cette limite existant dans la mesure où l'intégrale « généralisée » existe $\;{\big (}$ dans le cas où elle n'existerait pas on dirait qu'il y a divergence de l'intégrale volumique ${\big )}{\big ]}$ .
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 ^10,4 ^10,5 ^10,6 ^10,7 et ^10,8 Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en science des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique.
↑ En particulier, appelant $\;t_{\text{fentes d'Young}}\;$ un instant où la « particule » $\;{\big (}$ ou plutôt la forme « ondulatoire » associée à la « particule » ${\big )}\;$ est au niveau des fentes d'Young, nous admettons que la densité volumique de probabilité de présence de la « particule » au moment de son émission $\;{\big (}$ évidemment antérieure à $\;t_{\text{fentes d'Young}}{\big )}\;$ dépend déjà de la présence des fentes d'Young $\;{\big [}$ sans toutefois pouvoir le vérifier directement car la seule grandeur que nous sommes capables de mesurer, sans perturber l'expérience, est la probabilité de présence sur l'écran $\;{\big (}$ évidemment postérieure à $\;t_{\text{fentes d'Young}}{\big )}{\big ]}$ .
↑ De même que l'éclairement en un point de l'écran d'abscisse $\;x\;$ lors des interférences lumineuses par fentes d'Young, n'est pas la somme des éclairements que l'on obtiendrait en occultant l'une puis l'autre des fentes.
↑ ^13,0 et ^13,1 Pour que l'additivité soit envisageable $\;{\big (}$ mais comme nous l'avons dit elle n'est pas réalisée ${\big )}\;$ il faut que les densités linéiques de probabilité $\;{\mathcal {P}}_{l,\;1}\;$ ou $\;{\mathcal {P}}_{l,\;2}\;$ ne soient pas normalisées au sens habituel, la probabilité que la particule passe par $\;F_{1}\;$ ${\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}\;$ ${\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ n'est pas choisie égale à $\;1\;$ mais à $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ ${\big (}$ la source d'émission étant sur la médiatrice de $\;[S_{1}S_{2}]$ , avec $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ respectivement les centres de $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}{\big )}\;$ et ainsi une particule « classique » $\;{\big (}$ c.-à-d. ne subissant pas d'interférences parce que sa longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}\;$ serait $\;\ll a{\big )}\;$ passant nécessairement par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ ${\big (}$ ceci n'est vrai que pour une particule « classique » et devient faux pour une particule interférant ${\big )}$ , la probabilité de la retrouver sur l'écran est alors bien égale à $\;1$ .
Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big \{}$ se prononce « Brogle » ${\big \}}$ , mathématicien et physicien français, voir la note « ³⁰ » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Modèle « scalaire » de la lumière qui est suffisant tant que la polarisation de l'onde n'intervient pas.
↑ Voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe » et « amplitude complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^16,0 et ^16,1 La puissance lumineuse « moyenne » reçue par l'élément de surface $\;dS\;$ centrée en $\;M$ , « $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle \;$ », s'évaluant selon $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle ={\mathcal {E}}(M)\;dS$ , nous déduisons, de l'expression de l'éclairement « $\;{\mathcal {E}}(M)={\mathcal {E}}_{1}(M)+{\mathcal {E}}_{2}(M)+2\;{\sqrt {{\mathcal {E}}_{1}(M)\;{\mathcal {E}}_{2}(M)}}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ », celle de la puissance « moyenne » reçue par $\;dS\;$
« $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle +\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle +2\;{\sqrt {\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle \;\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle }}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste » plus haut dans ce chapitre.
↑ Obtenue en divisant la relation sur les puissances moyennes $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle +\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle +2\;{\sqrt {\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle \;\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle }}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ ${\big \{}$ voir la note « ¹⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ par l'énergie du photon.
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 ^19,4 ^19,5 ^19,6 ^19,7 et ^19,8 On rappelle que l'aspect corpusculaire ne peut expliquer les phénomènes d'interférences, il est donc « incorrect » de dire que les photons « interfèrent », ce sont les ondes associées qui interfèrent d'où la présence de guillemets encadrant le terme « interfère » ; il en est de même pour les particules massiques.
↑ La puissance moyenne émise par la source et participant aux interférences étant « $\;{\mathcal {E}}_{1}(F_{1})\;S(F_{1})+{\mathcal {E}}_{2}(F_{2})\;S(F_{2})\;$ » où « $\;S(F_{1})\;$ et $\;S(F_{2})\;$ sont les aires des fentes d'Young » avec « $\;{\mathcal {E}}_{1}(F_{1})\;$ et $\;{\mathcal {E}}_{2}(F_{2})\;$ les éclairements au niveau de chaque fente », nous en déduisons
le débit global « moyen » de photons émis par la source et « pouvant interférer » « $\;n_{\gamma ,\,{\text{source}}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{1}(F_{1})\;S(F_{1})+{\mathcal {E}}_{2}(F_{2})\;S(F_{2})}{h\;\nu }}\;$ ».
↑ En effet cela résulte de l'utilisation du corollaire de la loi des grands nombres exposé dans la note « ⁵ » plus haut dans ce chapitre.
↑ Nous pouvons vérifier que la probabilité statistique « moyenne » qu'un photon pris parmi les photons émis par la source et « interférant » en atteignant $\;dS\;$ n'est pas la somme des probabilités statistiques « moyennes » que ce photon passe par $\;F_{1}$ $\;{\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}$ $\;{\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}$ .
↑ Ceci vérifiant que la probabilité « moyenne » qu'un photon, pris parmi les photons émis successivement par la source et « pouvant interférer », « interfère » en un point $\;M\;$ n'est pas la somme des probabilités « moyennes » que ce photon passe par $\;F_{1}$ $\;{\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}$ $\;{\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}$ .
↑ ^24,0 et ^24,1 Particule se substituant à photon dans l'exposé du paragraphe « intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « grandeur instantanée complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « amplitude complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 ^27,4 et ^27,5 Se dit d'une « particule » dont on s'intéresse au comportement ondulatoire par opposition au qualificatif « classique » quand on s'intéresse à son comportement corpusculaire.
↑ La fonction d'onde est l'analogue, dans l'onde de matière, de la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(M,\,t)\;$ de l'onde lumineuse mais, contrairement au cas de l'onde lumineuse où la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ représente une grandeur physique vibrante, la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ de la fonction d'onde n'a aucune signification physique pour l'onde de matière.
↑ C.-à-d. en absence de propagation de l'onde de matière $\Rightarrow$ le module de la fonction d'onde $\;\vert {\underline {\psi }}(M,\,t)\vert \;$ est indépendant du temps $\;t\;$ ${\big (}$ justifié dans la suite de ce paragraphe ${\big )}$ .
↑ ^30,0 ^30,1 ^30,2 ^30,3 ^30,4 et ^30,5 Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big \{}$ se prononce « Brogle » ${\big \}}$ , mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1929$ .
↑ ^31,0 ^31,1 ^31,2 ^31,3 et ^31,4 Voir le paragraphe « relation de Louis de Broglie et conséquences » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^32,0 ^32,1 et ^32,2 La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite $\;{\underline {A}}\;\exp \!\left[i\left(\omega \;t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)\right]\;$ ${\big \{}$ voir la note « ¹⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant $\;t\;$ et au point $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\underline {A}}\;\exp \!\left[i\left(-\omega \;t+{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)\right]$ , c'est cette 2^ème possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ et de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixées.
↑ Avec $\;h\simeq 6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ la constante de Planck $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « aspect corpusculaire de la lumière » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
↑ À un facteur multiplicatif près.
↑ ^36,0 et ^36,1 L'introduction de cette notion a été faite pour une O.P.H. $\;{\big \{}$ revoir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}$ , ce qui est l'analogue d'une particule en état stationnaire d'énergie fixée, mais l'analogie peut être prolongée au cas d'une particule dans un état quelconque.
↑ Voir le paragraphe « notion de récepteurs lumineux » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\;{\bigg \{}$ dans lequel il faut remplacer ici $\;{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)\;$ par $\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)}{S_{M}}}$ , qui ne change rien à la proportionnalité ${\bigg \}}$ , applicable pour une onde progressive $\;{\big (}$ non nécessairement une O.P.H. ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ analogie prolongeable au cas d'une particule dans un état quelconque $\;{\big (}$ non nécessairement une particule dans un état stationnaire ${\big )}$ .
↑ On constate une certaine limite à l'analogie car une analogie complète aurait voulu que « $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$ » soit remplacé par « $\;\left[\psi (M,\,t)\,\right]^{2}\;$ » avec « $\;\psi (M,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\\{\text{ou}}\\\Im \left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\end{array}}\right.\;$ » mais, contrairement à $\;{\underline {s}}(M,\,t)\;$ qui n'est qu'une introduction mathématique permettant de travailler sur la grandeur physique $\;s(M,\,t)$ , la grandeur physique associée à l'onde de matière n'est pas la partie réelle ou imaginaire de la fonction d'onde $\;{\big (}$ lesquelles n'ont aucune signification ${\big )}\;$ mais cette dernière elle-même $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ définie à un facteur de phase près $\;{\big \{}$ c.-à-d. que c'est le module de cette dernière $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert \;$ qui est la grandeur physique ${\big [}$ ou plus exactement son carré $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}{\big ]}{\big \}}$ $\;\ldots$
↑ ^39,0 ^39,1 ^39,2 et ^39,3 Le complexe conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ étant noté, en physique, « $\;{\underline {z}}^{*}\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ La densité volumique de probabilité de présence se déterminant expérimentalement $\;{\big (}$ que la particule soit dans un état quelconque ou dans un état stationnaire d'énergie fixée ${\big )}\;$ ce lien définit, par retombée, la fonction d'onde à un facteur de phase près $\;{\big (}$ c.-à-d. un facteur exponentiel imaginaire pur près ${\big )}\;$ ${\big [}$ on rappelle que seul le module de la fonction d'onde a une signification physique ${\big (}$ ou plus exactement la densité de probabilité de présence c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde ${\big )}{\big ]}$ .
↑ Avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\simeq 1,05457182\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ la « constante réduite de Planck.
↑ Cela résultant que l'onde de matière associée à l'électron passe par chaque fente avec la même probabilité.
↑ Servant de définition de la fonction d'onde à un facteur de phase près, voir le paragraphe « notion de fonction d'onde de matière » plus haut dans ce chapitre.
↑ La partie entre accolades définissant le terme d'interférence.
↑ Ceci à cause du terme d'interférence.
↑ ^46,0 et ^46,1 En effet nous verrons, dans le paragraphe « généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale » du chap. $18$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'il est impossible de connaître simultanément deux grandeurs conjuguées comme $\;{\vec {p}}\;$ et $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}\;$ $\Rightarrow$ si on fixe la quantité de mouvement de l'électron, il est donc impossible de savoir où cette grandeur est définie $\;{\big (}$ l'électron est donc présent partout avec la même densité de probabilité de présence ${\big )}\;$ et
En effet nous verrons, dans le paragraphe « en complément : inégalité de Heisenberg temporelle » du même chap. $18$ de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'il est impossible de connaître simultanément les deux grandeurs conjuguées $\;E\;$ et $\;t\;$ $\Rightarrow$ si on fixe l'énergie de l'électron, il est donc impossible de savoir à quel instant cette grandeur est définie $\;{\big (}$ l'électron est donc bien dans un état stationnaire ${\big )}$ .
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont $\;\parallel \;$ et « para » où ils sont anti $\;\parallel$ , le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion $\;\searrow \;$ quand sa température $\;\searrow {\big )}$ .
↑ ^47,0 et ^47,1 Onde Plane Progressive Harmonique.
↑ ^48,0 ^48,1 ^48,2 et ^48,3 D'après le rappel de la note « ³¹ » plus haut dans ce chapitre, la relation de Louis de Broglie s'écrivant $\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}$ , peut être transformée en $\;p=\hbar \;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;$ car $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}$ .
↑ Après utilisation de la formule d'Euler relative au cosinus « $\;\exp(i\;x)+\exp(-i\;x)=2\;\cos(x)\;$ ».
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ À condition toutefois d'adapter les notations.
↑ On vérifie que $\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{max}},\,t)=\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert +\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$ est $\;>\;$ à $\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}\;$ c.-à-d. strictement $\;>\;$ à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}$ , l'autre fente étant occultée.
↑ On vérifie que $\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{min}},\,t)=\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert -\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$ est $\;<\;$ à $\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}\;$ c.-à-d. strictement $\;<\;$ à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}$ , l'autre fente étant occultée.
↑ Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962) physicien danois surtout connu pour son apport à l'édification de la mécanique quantique ; il reçut le prix Nobel de physique en $\;1922\;$ pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent ; il travailla avec Joseph John Thomson (1856 - 1940) $\;{\big \{}$ physicien anglais à qui on doit la découverte de l'électron, des isotopes et l'invention de la spectrométrie de masse, il reçut le prix Nobel de physique en $\;1906\;$ pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz ${\big \}}\;$ puis avec Ernest Rutherford (1871 - 1937) $\;{\big \{}$ physicien et chimiste néo-zélando-britannique à qui on doit la découverte des rayonnements alpha et bêta, la mise en évidence du noyau atomique, considéré comme le père de la physique nucléaire, il reçut le prix Nobel de chimie en $\;1908\;$ pour ses recherches sur la désintégration des éléments et la chimie des substances radioactives ${\big \}}\;$ avant de diriger son propre laboratoire à Copenhague ;
   un de ses six fils Aage Niels Bohr (1922 - 2009) brillant physicien nucléaire, ayant grandi au milieu de physiciens amis de son père, comme Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) $\;{\big \{}$ physicien autrichien connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en $\;1945{\big \}}\;$ ou Werner Heisenberg (1901 - 1976) $\;{\big \{}$ physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, voir la note « ⁴⁶ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails ${\big \}}$ , a été co-lauréat du prix Nobel de physique en $\;1975\;$ pour la découverte du lien entre mouvement collectif et mouvement des particules dans le noyau atomique et le développement de la théorie de la structure du noyau fondée sur ce lien, les deux autres co-lauréats étant Ben Roy Mottelson (1926 - 2022) $\;{\big \{}$ physicien américano-danois $\;{\big (}$ plus exactement étatsunieno-danois ${\big )}{\big \}}\;$ et Léo James Rainwater (1917 -1986) $\;{\big \{}$ physicien américain $\;{\big (}$ plus exactement étatsunien ${\big )}\;$ inventeur du modèle unifié du noyau atomique en $\;1950$ $\;{\big (}$ le 1^er modèle fut celui de la goutte liquide du physicien allemand Weizsäcker en $\;1935$ , amélioré par Niels Bohr en $\;1939$ , puis vint le 2^ème modèle celui des couches nucléaires proposé indépendamment par le physicien hongrois Eugene Paul Wigner, la physicienne germano-étatsunienne Maria Goepper-Mayer et le physicien allemand Johannes Hans Daniel Jensen en $\;1949$ , le modèle unifié de Rainwater postulant l'existence de déformations à l’état fondamental ${\big )}{\big \}}\;$ .
   Carl Friedrich von Weizsäcker (1912 - 2007) physicien et philosophe allemand, à l'origine du modèle de la goutte liquide pour le noyau atomique en $\;1935$ , a contre lui d'avoir participé à la recherche de l'arme nucléaire au profit du Reich pendant la 2^nde guerre mondiale.
   Eugene Paul Wigner (1902 - 1995) physicien théoricien hongrois, naturalisé américain $\;{\big (}$ plus exactement étatsunien ${\big )}$ , co-inventeur indépendant du modèle en couches pour le noyau atomique en $\;1949$ , lauréat d'une moitié de prix Nobel de physique en $\;1963\;$ son développement de la théorie de mécanique quantique concernant la nature du proton et du neutron, l'autre moitié étant partagée entre Maria Goepper-Mayer et Hans Daniel Jensen pour leur travail sur l'explication de la structure du noyau atomique.
   Maria Goepper-Mayer (1906 - 1972) physicienne germano-américaine $\;{\big (}$ plus exactement germano-étatsunienne ${\big )}$ , co-inventeur indépendante du modèle en couches pour le noyau atomique en $\;1949$ , a partagé une moitié de prix Nobel de physique en $\;1963\;$ avec Hans Daniel Jensen pour leur travail sur l'explication de la structure du noyau atomique, l'autre moitié étant reçue par Eugene Paul Wigner pour son développement de la théorie de mécanique quantique concernant la nature du proton et du neutron.
   Johannes Hans Daniel Jensen (1907 - 1973) physicien allemand, co-inventeur indépendant du modèle en couches pour le noyau atomique en $\;1949$ , a contre lui d'avoir participé au Projet Uranium lancé en $\;1939\;$ par le régime nazi pendant la 2^nde guerre mondiale, a partagé une moitié de prix Nobel de physique en $\;1963\;$ avec Maria Goepper-Mayer pour leur travail sur l'explication de la structure du noyau atomique, l'autre moitié étant reçue par Eugene Paul Wigner pour son développement de la théorie de mécanique quantique concernant la nature du proton et du neutron.
↑ Comme $\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}$ , une particule à suffisamment faible valeur de longueur d'onde de de Broglie pour être $\;\ll a\;$ est une particule rapide qui présentera alors son aspect corpusculaire, si cette particule est beaucoup plus lente alors sa longueur d'onde de de Broglie ne sera pas $\;\ll a\;$ et elle présentera son aspect ondulatoire.
↑ Si le détecteur se déclenche la particule est passée par cette fente et s'il ne se déclenche elle est passée par l'autre fente.

Signaux physiques (PCSI)

Introduction au monde quantique : dualité onde-particule

Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

[1] Nous avons vu qu'il ne pouvait y avoir interférences que si les ondes se superposant provenaient de deux sources cohérentes entre elles et pour cela, le plus simple est de réaliser la division d'une même onde : cela se fait
par « division du front d'onde » lorsque les ondes qui interfèrent entre elles proviennent de différents points de l'onde $\;{\big (}F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ de l'onde incidente lors de la division par fentes d'Young par exemple ${\big )}$ , ou

par « division d'amplitude » lorsque les ondes interférant entre elles proviennent de la division de l'amplitude d'un même point de l'onde $\;{\big (}$ la division se faisant le plus souvent par lame semi-réfléchissante ${\big )}$ ;
seul un exemple d'interférences lumineuses par division du front d'onde a été fourni dans le paragraphe « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, voir la note « ¹⁰ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.

[2] r « division du front d'onde » lorsque les ondes qui interfèrent entre elles proviennent de différents points de l'onde $\;{\big (}F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ de l'onde incidente lors de la division par fentes d'Young par exemple ${\big )}$ , ou

[3] r « division d'amplitude » lorsque les ondes interférant entre elles proviennent de la division de l'amplitude d'un même point de l'onde $\;{\big (}$ la division se faisant le plus souvent par lame semi-réfléchissante ${\big )}$ ;

[éclairement_en_un_point-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 et ^2,6 Voir le paragraphe « notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[3] Débit « moyen » car l'éclairement est la puissance moyenne par unité de surface.

[énergie_d'un_photon-4] $\;h\;\nu \;$ étant l'énergie d'un photon associé à une onde monochromatique de fréquence $\;\nu$ , $\;h\simeq 6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ étant la constante de Planck $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « aspect corpusculaire de la lumière » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big \}}$ .
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit essentiellement la théorie des quanta, voir la note « ³⁴ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.

[loi_des_grands_nombres-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 De façon à pouvoir y appliquer la loi statistique des grands nombres à savoir « dans une série de valeurs d'une grandeur définie dans un échantillon, la fréquence relative d'une valeur quelconque $\;{\big (}$ c.-à-d. le nombre de fois où la grandeur est trouvée dans l'échantillon sur le nombre d'éléments de cet échantillon ${\big )}\;$ est indépendante du nombre d'éléments de l'échantillon » qui a pour corollaire « la probabilité que la grandeur ait une valeur fixée est la fréquence relative de cette valeur dans toute série de valeurs de la grandeur ».

[6] Cette densité volumique de probabilité de présence qui est réelle et positive est a priori « normalisée » c.-à-d. que la probabilité de trouver la particule dans l'espace entier à l'instant $\;t\;$ ${\big [}$ méthode de calcul exposée plus loin dans ce paragraphe ${\big ]}\;$ est égale à $\;1$ .

[7] Voir le paragraphe « définition (d'un volume élémentaire) » dans le chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[8] Voir le paragraphe « notions d'intégrale volumique » dans le chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[9] La normalisation de la densité volumique de probabilité de présence se traduit par $\;\displaystyle \iiint _{{\mathcal {E}}_{3}}{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}=1\;$ où $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ est l'espace tridimensionnel entier $\;{\big [}$ ici l'extension de l'expansion tridimensionnelle étant infinie, l'intégrale volumique est « généralisée » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , elle est définie comme la limite de l'intégrale volumique sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie $\;{\big (}$ par exemple une boule de rayon $\;R{\big )}\;$ dont on fait tendre l'extension vers l'infini $\;{\big (}$ sur l'exemple on fait tendre $\;R\;$ vers l' $\infty {\big )}$ , cette limite existant dans la mesure où l'intégrale « généralisée » existe $\;{\big (}$ dans le cas où elle n'existerait pas on dirait qu'il y a divergence de l'intégrale volumique ${\big )}{\big ]}$ .

[Young-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 ^10,4 ^10,5 ^10,6 ^10,7 et ^10,8 Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en science des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique.

[11] En particulier, appelant $\;t_{\text{fentes d'Young}}\;$ un instant où la « particule » $\;{\big (}$ ou plutôt la forme « ondulatoire » associée à la « particule » ${\big )}\;$ est au niveau des fentes d'Young, nous admettons que la densité volumique de probabilité de présence de la « particule » au moment de son émission $\;{\big (}$ évidemment antérieure à $\;t_{\text{fentes d'Young}}{\big )}\;$ dépend déjà de la présence des fentes d'Young $\;{\big [}$ sans toutefois pouvoir le vérifier directement car la seule grandeur que nous sommes capables de mesurer, sans perturber l'expérience, est la probabilité de présence sur l'écran $\;{\big (}$ évidemment postérieure à $\;t_{\text{fentes d'Young}}{\big )}{\big ]}$ .

[12] De même que l'éclairement en un point de l'écran d'abscisse $\;x\;$ lors des interférences lumineuses par fentes d'Young, n'est pas la somme des éclairements que l'on obtiendrait en occultant l'une puis l'autre des fentes.

[densités_linéiques_de_probabilité_de_présence_non_normalisées_au_sens_habituel-13] 13,0 et ^13,1 Pour que l'additivité soit envisageable $\;{\big (}$ mais comme nous l'avons dit elle n'est pas réalisée ${\big )}\;$ il faut que les densités linéiques de probabilité $\;{\mathcal {P}}_{l,\;1}\;$ ou $\;{\mathcal {P}}_{l,\;2}\;$ ne soient pas normalisées au sens habituel, la probabilité que la particule passe par $\;F_{1}\;$ ${\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}\;$ ${\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ n'est pas choisie égale à $\;1\;$ mais à $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ ${\big (}$ la source d'émission étant sur la médiatrice de $\;[S_{1}S_{2}]$ , avec $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ respectivement les centres de $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}{\big )}\;$ et ainsi une particule « classique » $\;{\big (}$ c.-à-d. ne subissant pas d'interférences parce que sa longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}\;$ serait $\;\ll a{\big )}\;$ passant nécessairement par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ ${\big (}$ ceci n'est vrai que pour une particule « classique » et devient faux pour une particule interférant ${\big )}$ , la probabilité de la retrouver sur l'écran est alors bien égale à $\;1$ .
Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big \{}$ se prononce « Brogle » ${\big \}}$ , mathématicien et physicien français, voir la note « ³⁰ » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.

[14] Modèle « scalaire » de la lumière qui est suffisant tant que la polarisation de l'onde n'intervient pas.

[modélisation_d'une_O.P.H.-15] Voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe » et « amplitude complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[puissance_moyenne_reçue_par_dS-16] 16,0 et ^16,1 La puissance lumineuse « moyenne » reçue par l'élément de surface $\;dS\;$ centrée en $\;M$ , « $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle \;$ », s'évaluant selon $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle ={\mathcal {E}}(M)\;dS$ , nous déduisons, de l'expression de l'éclairement « $\;{\mathcal {E}}(M)={\mathcal {E}}_{1}(M)+{\mathcal {E}}_{2}(M)+2\;{\sqrt {{\mathcal {E}}_{1}(M)\;{\mathcal {E}}_{2}(M)}}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ », celle de la puissance « moyenne » reçue par $\;dS\;$
« $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle +\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle +2\;{\sqrt {\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle \;\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle }}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ ».

[17] Voir le paragraphe « lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste » plus haut dans ce chapitre.

[18] Obtenue en divisant la relation sur les puissances moyennes $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle +\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle +2\;{\sqrt {\left\langle {\mathcal {P}}_{1,\,dS}\right\rangle \;\left\langle {\mathcal {P}}_{2,\,dS}\right\rangle }}\;\cos(\Delta \varphi )\;$ ${\big \{}$ voir la note « ¹⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ par l'énergie du photon.

[interférence_de_particules-19] 19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 ^19,4 ^19,5 ^19,6 ^19,7 et ^19,8 On rappelle que l'aspect corpusculaire ne peut expliquer les phénomènes d'interférences, il est donc « incorrect » de dire que les photons « interfèrent », ce sont les ondes associées qui interfèrent d'où la présence de guillemets encadrant le terme « interfère » ; il en est de même pour les particules massiques.

[20] La puissance moyenne émise par la source et participant aux interférences étant « $\;{\mathcal {E}}_{1}(F_{1})\;S(F_{1})+{\mathcal {E}}_{2}(F_{2})\;S(F_{2})\;$ » où « $\;S(F_{1})\;$ et $\;S(F_{2})\;$ sont les aires des fentes d'Young » avec « $\;{\mathcal {E}}_{1}(F_{1})\;$ et $\;{\mathcal {E}}_{2}(F_{2})\;$ les éclairements au niveau de chaque fente », nous en déduisons
le débit global « moyen » de photons émis par la source et « pouvant interférer » « $\;n_{\gamma ,\,{\text{source}}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{1}(F_{1})\;S(F_{1})+{\mathcal {E}}_{2}(F_{2})\;S(F_{2})}{h\;\nu }}\;$ ».

[21] En effet cela résulte de l'utilisation du corollaire de la loi des grands nombres exposé dans la note « ⁵ » plus haut dans ce chapitre.

[22] Nous pouvons vérifier que la probabilité statistique « moyenne » qu'un photon pris parmi les photons émis par la source et « interférant » en atteignant $\;dS\;$ n'est pas la somme des probabilités statistiques « moyennes » que ce photon passe par $\;F_{1}$ $\;{\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}$ $\;{\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}$ .

[23] Ceci vérifiant que la probabilité « moyenne » qu'un photon, pris parmi les photons émis successivement par la source et « pouvant interférer », « interfère » en un point $\;M\;$ n'est pas la somme des probabilités « moyennes » que ce photon passe par $\;F_{1}$ $\;{\big (}F_{2}\;$ étant occultée ${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}$ $\;{\big (}F_{1}\;$ étant occultée ${\big )}$ .

[remplaçant_photon-24] 24,0 et ^24,1 Particule se substituant à photon dans l'exposé du paragraphe « intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young » plus haut dans ce chapitre.

[modélisation_d'une_O.P.H._-_bis-25] Voir le paragraphe « grandeur instantanée complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[modélisation_d'une_O.P.H._-_ter-26] Voir le paragraphe « amplitude complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[particule_quantique-27] 27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 ^27,4 et ^27,5 Se dit d'une « particule » dont on s'intéresse au comportement ondulatoire par opposition au qualificatif « classique » quand on s'intéresse à son comportement corpusculaire.

[fonction_d'onde-28] La fonction d'onde est l'analogue, dans l'onde de matière, de la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(M,\,t)\;$ de l'onde lumineuse mais, contrairement au cas de l'onde lumineuse où la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ représente une grandeur physique vibrante, la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ de la fonction d'onde n'a aucune signification physique pour l'onde de matière.

[état_stationnaire-29] C.-à-d. en absence de propagation de l'onde de matière $\Rightarrow$ le module de la fonction d'onde $\;\vert {\underline {\psi }}(M,\,t)\vert \;$ est indépendant du temps $\;t\;$ ${\big (}$ justifié dans la suite de ce paragraphe ${\big )}$ .

[L._de_Broglie-30] 30,0 ^30,1 ^30,2 ^30,3 ^30,4 et ^30,5 Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big \{}$ se prononce « Brogle » ${\big \}}$ , mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1929$ .

[longueur_d'onde_et_fréquence_de_de_Broglie-31] 31,0 ^31,1 ^31,2 ^31,3 et ^31,4 Voir le paragraphe « relation de Louis de Broglie et conséquences » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[analogie_O.P.P.H._complexe-32] 32,0 ^32,1 et ^32,2 La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite $\;{\underline {A}}\;\exp \!\left[i\left(\omega \;t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)\right]\;$ ${\big \{}$ voir la note « ¹⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant $\;t\;$ et au point $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\underline {A}}\;\exp \!\left[i\left(-\omega \;t+{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)\right]$ , c'est cette 2^ème possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ et de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixées.

[33] Avec $\;h\simeq 6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ la constante de Planck $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « aspect corpusculaire de la lumière » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big \}}$ .

[Planck-34] Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .

[35] À un facteur multiplicatif près.

[analogie_admise_pour_une_particule_dans_un_état_quelconque-36] 36,0 et ^36,1 L'introduction de cette notion a été faite pour une O.P.H. $\;{\big \{}$ revoir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}$ , ce qui est l'analogue d'une particule en état stationnaire d'énergie fixée, mais l'analogie peut être prolongée au cas d'une particule dans un état quelconque.

[lien_entre_puissance_reçue_par_unité_de_surface_et_signal-37] Voir le paragraphe « notion de récepteurs lumineux » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\;{\bigg \{}$ dans lequel il faut remplacer ici $\;{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)\;$ par $\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)}{S_{M}}}$ , qui ne change rien à la proportionnalité ${\bigg \}}$ , applicable pour une onde progressive $\;{\big (}$ non nécessairement une O.P.H. ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ analogie prolongeable au cas d'une particule dans un état quelconque $\;{\big (}$ non nécessairement une particule dans un état stationnaire ${\big )}$ .

[limite_de_l'analogie-38] On constate une certaine limite à l'analogie car une analogie complète aurait voulu que « $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$ » soit remplacé par « $\;\left[\psi (M,\,t)\,\right]^{2}\;$ » avec « $\;\psi (M,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\\{\text{ou}}\\\Im \left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\end{array}}\right.\;$ » mais, contrairement à $\;{\underline {s}}(M,\,t)\;$ qui n'est qu'une introduction mathématique permettant de travailler sur la grandeur physique $\;s(M,\,t)$ , la grandeur physique associée à l'onde de matière n'est pas la partie réelle ou imaginaire de la fonction d'onde $\;{\big (}$ lesquelles n'ont aucune signification ${\big )}\;$ mais cette dernière elle-même $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ définie à un facteur de phase près $\;{\big \{}$ c.-à-d. que c'est le module de cette dernière $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert \;$ qui est la grandeur physique ${\big [}$ ou plus exactement son carré $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}{\big ]}{\big \}}$ $\;\ldots$

[complexe_conjugué-39] 39,0 ^39,1 ^39,2 et ^39,3 Le complexe conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ étant noté, en physique, « $\;{\underline {z}}^{*}\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ .

[40] La densité volumique de probabilité de présence se déterminant expérimentalement $\;{\big (}$ que la particule soit dans un état quelconque ou dans un état stationnaire d'énergie fixée ${\big )}\;$ ce lien définit, par retombée, la fonction d'onde à un facteur de phase près $\;{\big (}$ c.-à-d. un facteur exponentiel imaginaire pur près ${\big )}\;$ ${\big [}$ on rappelle que seul le module de la fonction d'onde a une signification physique ${\big (}$ ou plus exactement la densité de probabilité de présence c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde ${\big )}{\big ]}$ .

[41] Avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\simeq 1,05457182\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ la « constante réduite de Planck.

[superposition_de_deux_états-42] Cela résultant que l'onde de matière associée à l'électron passe par chaque fente avec la même probabilité.

[43] Servant de définition de la fonction d'onde à un facteur de phase près, voir le paragraphe « notion de fonction d'onde de matière » plus haut dans ce chapitre.

[44] La partie entre accolades définissant le terme d'interférence.

[45] Ceci à cause du terme d'interférence.

[état_stationnaire_à_densité_de_probabilité_de_présence_uniforme-46] 46,0 et ^46,1 En effet nous verrons, dans le paragraphe « généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale » du chap. $18$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'il est impossible de connaître simultanément deux grandeurs conjuguées comme $\;{\vec {p}}\;$ et $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}\;$ $\Rightarrow$ si on fixe la quantité de mouvement de l'électron, il est donc impossible de savoir où cette grandeur est définie $\;{\big (}$ l'électron est donc présent partout avec la même densité de probabilité de présence ${\big )}\;$ et
En effet nous verrons, dans le paragraphe « en complément : inégalité de Heisenberg temporelle » du même chap. $18$ de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'il est impossible de connaître simultanément les deux grandeurs conjuguées $\;E\;$ et $\;t\;$ $\Rightarrow$ si on fixe l'énergie de l'électron, il est donc impossible de savoir à quel instant cette grandeur est définie $\;{\big (}$ l'électron est donc bien dans un état stationnaire ${\big )}$ .
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont $\;\parallel \;$ et « para » où ils sont anti $\;\parallel$ , le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion $\;\searrow \;$ quand sa température $\;\searrow {\big )}$ .

[O.P.P.H.-47] 47,0 et ^47,1 Onde Plane Progressive Harmonique.

[réécriture_de_la_longueur_d'onde_de_de_Broglie-48] 48,0 ^48,1 ^48,2 et ^48,3 D'après le rappel de la note « ³¹ » plus haut dans ce chapitre, la relation de Louis de Broglie s'écrivant $\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}$ , peut être transformée en $\;p=\hbar \;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;$ car $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}$ .

[49] Après utilisation de la formule d'Euler relative au cosinus « $\;\exp(i\;x)+\exp(-i\;x)=2\;\cos(x)\;$ ».
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

[50] À condition toutefois d'adapter les notations.

[51] On vérifie que $\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{max}},\,t)=\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert +\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$ est $\;>\;$ à $\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}\;$ c.-à-d. strictement $\;>\;$ à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}$ , l'autre fente étant occultée.

[52] On vérifie que $\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{min}},\,t)=\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert -\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$ est $\;<\;$ à $\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}\;$ c.-à-d. strictement $\;<\;$ à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}$ , l'autre fente étant occultée.

[N._Bohr-53] Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962) physicien danois surtout connu pour son apport à l'édification de la mécanique quantique ; il reçut le prix Nobel de physique en $\;1922\;$ pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent ; il travailla avec Joseph John Thomson (1856 - 1940) $\;{\big \{}$ physicien anglais à qui on doit la découverte de l'électron, des isotopes et l'invention de la spectrométrie de masse, il reçut le prix Nobel de physique en $\;1906\;$ pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz ${\big \}}\;$ puis avec Ernest Rutherford (1871 - 1937) $\;{\big \{}$ physicien et chimiste néo-zélando-britannique à qui on doit la découverte des rayonnements alpha et bêta, la mise en évidence du noyau atomique, considéré comme le père de la physique nucléaire, il reçut le prix Nobel de chimie en $\;1908\;$ pour ses recherches sur la désintégration des éléments et la chimie des substances radioactives ${\big \}}\;$ avant de diriger son propre laboratoire à Copenhague ;
un de ses six fils Aage Niels Bohr (1922 - 2009) brillant physicien nucléaire, ayant grandi au milieu de physiciens amis de son père, comme Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) $\;{\big \{}$ physicien autrichien connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en $\;1945{\big \}}\;$ ou Werner Heisenberg (1901 - 1976) $\;{\big \{}$ physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, voir la note « ⁴⁶ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails ${\big \}}$ , a été co-lauréat du prix Nobel de physique en $\;1975\;$ pour la découverte du lien entre mouvement collectif et mouvement des particules dans le noyau atomique et le développement de la théorie de la structure du noyau fondée sur ce lien, les deux autres co-lauréats étant Ben Roy Mottelson (1926 - 2022) $\;{\big \{}$ physicien américano-danois $\;{\big (}$ plus exactement étatsunieno-danois ${\big )}{\big \}}\;$ et Léo James Rainwater (1917 -1986) $\;{\big \{}$ physicien américain $\;{\big (}$ plus exactement étatsunien ${\big )}\;$ inventeur du modèle unifié du noyau atomique en $\;1950$ $\;{\big (}$ le 1^er modèle fut celui de la goutte liquide du physicien allemand Weizsäcker en $\;1935$ , amélioré par Niels Bohr en $\;1939$ , puis vint le 2^ème modèle celui des couches nucléaires proposé indépendamment par le physicien hongrois Eugene Paul Wigner, la physicienne germano-étatsunienne Maria Goepper-Mayer et le physicien allemand Johannes Hans Daniel Jensen en $\;1949$ , le modèle unifié de Rainwater postulant l'existence de déformations à l’état fondamental ${\big )}{\big \}}\;$ .
Carl Friedrich von Weizsäcker (1912 - 2007) physicien et philosophe allemand, à l'origine du modèle de la goutte liquide pour le noyau atomique en $\;1935$ , a contre lui d'avoir participé à la recherche de l'arme nucléaire au profit du Reich pendant la 2^nde guerre mondiale.
Eugene Paul Wigner (1902 - 1995) physicien théoricien hongrois, naturalisé américain $\;{\big (}$ plus exactement étatsunien ${\big )}$ , co-inventeur indépendant du modèle en couches pour le noyau atomique en $\;1949$ , lauréat d'une moitié de prix Nobel de physique en $\;1963\;$ son développement de la théorie de mécanique quantique concernant la nature du proton et du neutron, l'autre moitié étant partagée entre Maria Goepper-Mayer et Hans Daniel Jensen pour leur travail sur l'explication de la structure du noyau atomique.
Maria Goepper-Mayer (1906 - 1972) physicienne germano-américaine $\;{\big (}$ plus exactement germano-étatsunienne ${\big )}$ , co-inventeur indépendante du modèle en couches pour le noyau atomique en $\;1949$ , a partagé une moitié de prix Nobel de physique en $\;1963\;$ avec Hans Daniel Jensen pour leur travail sur l'explication de la structure du noyau atomique, l'autre moitié étant reçue par Eugene Paul Wigner pour son développement de la théorie de mécanique quantique concernant la nature du proton et du neutron.
Johannes Hans Daniel Jensen (1907 - 1973) physicien allemand, co-inventeur indépendant du modèle en couches pour le noyau atomique en $\;1949$ , a contre lui d'avoir participé au Projet Uranium lancé en $\;1939\;$ par le régime nazi pendant la 2^nde guerre mondiale, a partagé une moitié de prix Nobel de physique en $\;1963\;$ avec Maria Goepper-Mayer pour leur travail sur l'explication de la structure du noyau atomique, l'autre moitié étant reçue par Eugene Paul Wigner pour son développement de la théorie de mécanique quantique concernant la nature du proton et du neutron.

[54] Comme $\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}$ , une particule à suffisamment faible valeur de longueur d'onde de de Broglie pour être $\;\ll a\;$ est une particule rapide qui présentera alors son aspect corpusculaire, si cette particule est beaucoup plus lente alors sa longueur d'onde de de Broglie ne sera pas $\;\ll a\;$ et elle présentera son aspect ondulatoire.

[55] Si le détecteur se déclenche la particule est passée par cette fente et s'il ne se déclenche elle est passée par l'autre fente.

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