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Théorie générale des nombres complexes : La forme algébrique des nombres complexes Théorie générale des nombres complexes/La forme algébrique des nombres complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'ensemble des nombres complexes
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Définition
On appelle ensemble des nombres complexes, et l'on note
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, l'ensemble des expressions de la forme :
a
+
i
b
{\displaystyle a+\mathrm {i} b}
où
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
sont des réels.
Pour tout nombre complexe
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+\mathrm {i} b}
, on appelle respectivement partie réelle et partie imaginaire de
z
{\displaystyle z}
les deux réels
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
, que l'on note :
a
=
Re
(
z
)
et
b
=
Im
(
z
)
{\displaystyle a=\operatorname {Re} (z)\quad {\text{et}}\quad b=\operatorname {Im} (z)}
.
Remarques
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
En tant qu'ensemble,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
est donc
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
. On a simplement décidé de noter
a
+
i
b
{\displaystyle a+\mathrm {i} b}
, au lieu de
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, le couple des deux réels
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
. En particulier :
le couple
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
est noté
0
+
i
1
{\displaystyle 0+\mathrm {i} 1}
, ou plus simplement
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
;
pour tout réel
a
{\displaystyle a}
, le couple
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
est noté
a
+
i
0
{\displaystyle a+\mathrm {i} 0}
, ou plus simplement
a
{\displaystyle a}
.
Addition et multiplication dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
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Définition
On définit sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
deux
lois internes , addition et multiplication, par :
(
a
+
i
b
)
+
(
c
+
i
d
)
=
(
a
+
c
)
+
i
(
b
+
d
)
{\displaystyle (a+\mathrm {i} b)+(c+\mathrm {i} d)=(a+c)+\mathrm {i} (b+d)}
;
(
a
+
i
b
)
(
c
+
i
d
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
i
(
a
d
+
b
c
)
{\displaystyle (a+\mathrm {i} b)(c+\mathrm {i} d)=(ac-bd)+\mathrm {i} (ad+bc)}
.
Remarques
En particulier,
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
. On vient donc de donner un fondement à l'usuelle pseudo-définition au niveau 13 du nombre i .
La notation
a
+
i
b
{\displaystyle a+\mathrm {i} b}
est compatible avec ces définitions car le nombre complexe correspondant au couple
(
a
,
b
)
∈
R
2
{\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}
est bien la somme de celui correspondant à
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
et du produit de ceux correspondant à
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
et
(
b
,
0
)
{\displaystyle (b,0)}
. On peut également le noter
a
+
b
i
{\displaystyle a+b\mathrm {i} }
, car la multiplication dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
est commutative .
'Démonstration'
L'addition dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
est la simple transcription de l'addition dans
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
, ce qui fait de
(
C
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}
un groupe abélien , d'élément neutre
0
{\displaystyle 0}
.
On vérifie de plus que :
(
C
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,\cdot )}
est un monoïde commutatif :
commutativité de la multiplication :
∀
(
z
,
z
′
)
∈
C
2
z
z
′
=
z
′
z
{\displaystyle \forall (z,z')\in \mathbb {C} ^{2}\quad zz'=z'z}
,
associativité de la multiplication :
∀
(
z
,
z
′
,
z
″
)
∈
C
3
(
z
z
′
)
z
″
=
z
(
z
′
z
″
)
{\displaystyle \forall (z,z',z'')\in \mathbb {C} ^{3}\quad (zz')z''=z(z'z'')}
,
élément neutre :
∀
z
∈
C
z
1
=
z
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad z1=z}
;
la multiplication est distributive par rapport à l'addition :
∀
(
z
,
z
′
,
z
″
)
∈
C
3
(
z
+
z
′
)
z
″
=
z
z
″
+
z
′
z
″
{\displaystyle \forall (z,z',z'')\in \mathbb {C} ^{3}\quad (z+z')z''=zz''+z'z''}
.
Remarque
De plus,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
s'identifie à un sous-anneau de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, ce qui fait également de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
une
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
-algèbre .
Conjugué et module d'un nombre complexe
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Définition du conjugué
Pour tout
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
, le
conjugué du nombre complexe
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}
, noté
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
, est le nombre complexe défini par :
x
+
i
y
¯
=
x
−
i
y
{\displaystyle {\overline {x+\mathrm {i} y}}=x-\mathrm {i} y}
.
Le produit de
x
+
i
y
{\displaystyle x+\mathrm {i} y}
par son conjugué est le réel positif
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
. Sa racine carrée porte un nom :
Définition du module
Pour tout
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
, le
module du nombre complexe
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}
, noté
|
z
|
{\displaystyle |z|}
, est le réel positif défini par :
|
z
|
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}
,
ou encore :
|
x
+
i
y
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle |x+\mathrm {i} y|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
.
Le module d'un nombre complexe non nul étant non nul, on en déduit :
Inverse d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul possède un
inverse dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Plus précisément : pour tout
z
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
,
1
z
=
z
¯
|
z
|
2
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}}
ou encore : pour tout
(
x
,
y
)
∈
R
2
∖
{
(
0
,
0
)
}
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}
,
1
x
+
i
y
=
x
−
i
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {1}{x+\mathrm {i} y}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}}
.
Nous avons montré que
(
C
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )}
est un anneau commutatif unifère et que tout élément non nul de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
est inversible, d'où la propriété suivante :
Corollaire
Muni des deux opérations addition et multiplication,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
est un
corps commutatif .