Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Système thermodynamique soumis aux seules forces de pression extérieure

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Condition d’équilibre mécanique d’un système thermodynamique soumis aux seules forces de pression extérieure

     Préliminaire : Nous supposerons le système thermodynamique fermé $\;{\Big \{}$nous rappelons que l'étude d’un système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ limité par une surface de contrôle $\;\left(\Sigma \right)\;$ se ramène à celle du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ coïncidant, à l’instant $\;t$, avec l'« ensemble du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ défini à l’instant $\;t\;$ augmenté de ce qui entre $\;{\big (}$éventuellement${\big )}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$», système fermé suivi entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$, ce système fermé coïncidant, à l’instant $\;t+\delta t\;$, avec l'« ensemble du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t+\delta t}\;$ défini à l’instant $\;t+\delta t\;$ augmenté de ce qui est sorti $\;{\big (}$éventuellement${\big )}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$», le système ouvert pouvant être un système « pseudo fermé » subissant une fuite $\;{\big (}$donc aucune entrée entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$${\big )}\;$ ou ne subissant qu’une entrée de matière $\;{\big (}$donc aucune sortie entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$${\big )}\;$${\Big \}}$.

Rappel de la définition de la pression (interne) au point M d’un système thermodynamique

     Dans la mesure où le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ peut être considéré comme une juxtaposition de phases élémentaires ou finies, nous pouvons définir, en tout point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, une pression locale «$\;p(M)\;$» comme cela a été précisé aux paragraphes « pression p en un point M d'un G.R. (gaz réel) » et « pression p en un point M d'un liquide ou d'un solide » du chap.$4$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

     Remarques : $\succ \;$si le système est sous phase solide de « dimension au plus kilométrique », la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ du solide en équilibre mécanique $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ est estimée « uniforme » ;

     Remarques : $\succ \;$si le système est sous phase liquide de « dimension au plus décimétrique », nous pouvons négliger l’influence du champ de pesanteur terrestre et la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ du liquide en équilibre mécanique $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ est estimée « uniforme » ;

     Remarques : $\succ \;$si le système est un gaz de « dimension au plus hectométrique », nous pouvons négliger l’influence du champ de pesanteur terrestre ; la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ du gaz, « localement en équilibre mécanique $\;{\big (}$interne${\big )}$, peut ne pas être globalement uniforme même si elle l'est localement » mais, en absence de cause maintenant la non uniformité, le gaz évoluera globalement vers un équilibre mécanique $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ correspondant à une pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ devenue « uniforme ».

Définition de la pression extérieure exercée sur un système thermodynamique

Pression extérieure exercée sur un système thermodynamique

     La pression extérieure s’exerçant au point $\;M\;$ de la surface latérale du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est
     la grandeur scalaire «$\;p_{e}(M)\;$» définie comme le rapport «$\;p_{e}(M)={\dfrac {d{\vec {F}}_{(dS_{M})\leftarrow {\text{ext}}}(M)\cdot {\vec {n}}_{{\text{ext}}\rightarrow {\text{int}}}}{dS_{M}}}\;$» dans laquelle
     «$\;d{\vec {F}}_{(dS_{M})\leftarrow {\text{ext}}}(M)\;$ est la force pressante que l'extérieur exerce sur la portion élémentaire $\;\left(dS_{M}\right)\;$ de la surface latérale de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ centrée en $\;M$, $\;dS_{M}\;$ étant l'aire de $\;\left(dS_{M}\right)\;$ et $\;{\vec {n}}_{{\text{ext}}\rightarrow {\text{int}}}\;$ le vecteur unitaire normal à $\;\left(dS_{M}\right)\;$ orienté de l’extérieur vers l’intérieur ».

     Remarques 1 : « la pression extérieure $\;p_{e}(M)\;$ au point $\;M\;$ de la surface latérale du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ne joue un rôle dans l’équilibre mécanique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» que « si $\;M\;$ est mobile dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$», c'est-à-dire pratiquement « si $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est un fluide et si l'extérieur de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est lui même mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$», dans ce cas « la pression extérieure est une contrainte extérieure du système » ;
     Remarques 1 : dans le cas où la pression extérieure est une contrainte extérieure du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et dans la mesure où un équilibre mécanique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est réalisé, la pression extérieure $\;p_{e}(M)\;$ à cet équilibre y est toujours $\;>0\;$.

     Remarques 2 : $\succ \;$la pression extérieure à un système solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ considéré comme indéformable, de surface latérale $\;\left(S_{\text{lat}}\right)$, ne joue aucun rôle dans l'équilibre mécanique du solide dans la mesure où ce dernier est « incompressible » car la surface latérale $\;\left(S_{\text{lat}}\right)\;$ reste fixe dans le référentiel d'étude lié au solide ; nous pouvons donc affirmer que « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour un système thermodynamique solide $\;{\big (}$incompressible${\big )}\;$ » ;

     Remarques 2 : $\succ \;$sur un système liquide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ remplissant un cylindre indéformable fermé par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ mobile dans le référentiel d'étude lié au cylindre, seule la pression extérieure exercée par le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ pourrait jouer un rôle dans l’équilibre mécanique du liquide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ mais en fait elle n’en joue aucun si le liquide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est considéré comme « incompressible » car le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ ne peut se déplacer dans le référentiel d'étude lié au cylindre dans la mesure où $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ reste « collé à la surface latérale du liquide incompressible » ; nous pouvons donc affirmer que « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour un système thermodynamique liquide $\;{\big (}$incompressible${\big )}\;$ » ;

     Remarques 2 : $\succ \;$sur un système gazeux $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ stocké dans un récipient fermé indéformable et immobile dans le référentiel d’étude, la pression extérieure exercée par les parois du récipient ne joue aucun rôle dans l’équilibre mécanique du gaz, nous pouvons affirmer que « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour un système thermodynamique gazeux dont les parois sont rigides et fixes ».

Condition d’équilibre mécanique d’un système thermodynamique « gazeux » remplissant un cylindre fermé par un piston mobile

     Encore applicable telle quelle pour un système thermodynamique « liquide » remplissant un cylindre fermé par un piston mobile, « même si cette condition ne joue aucun rôle dans l'équilibre mécanique du liquide dans la mesure quasi-générale où ce dernier est incompressible ».

Cas d’un cylindre « horizontal » ou « vertical à ouverture supérieure fermée par un piston sans masse »

     Préliminaire : Dans le cas d'un cylindre « horizontal », le poids du piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ étant $\;\perp \;$ à la direction de déplacement de ce dernier ne joue aucun rôle dans la détermination de la force pressante que $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur le gaz et par suite il se comporte comme s'il n'avait pas de masse d'où le rattachement de ce cas à celui d'un cylindre « vertical à ouverture supérieure fermée par un piston sans masse » ;

     Préliminaire : dans la suite nous considérons le cylindre « horizontal » sachant que le cas d'un cylindre « vertical à ouverture supérieure fermée par un piston sans masse » s'en déduit facilement.

Schéma d'une quantité d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile, le côté extérieur du piston étant au contact de l'atmosphère

     Exposé : Ci-contre le schéma d'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ mobile sans frottement solide, le côté extérieur de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ étant au contact de l'atmosphère, avec représentation des forces s'exerçant sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)$ :
     Exposé : Ci-contre le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est en équilibre mécanique si le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ est en équilibre c'est-à-dire si la résultante des forces qui lui sont appliquées $\;{\big \{}$à savoir la force pressante de l'atmosphère extérieure et celle de l'air intérieur${\big \}}\;$ est nulle ou encore si la composante de cette dernière sur la direction de déplacement du piston $\;{\big (}$repérée par le vecteur unitaire horizontal $\;{\vec {u}}_{x}\;$ dirigé du piston vers le fond du cylindre${\big )}\;$ est nulle soit, avec
     Exposé : Ci-contre «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}\;$ la force pressante de l'atmosphère sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ d'aire $\;S\;$», $\;p_{\text{atm}}\;$ étant la pression atmosphérique et
     Exposé : Ci-contre «$\;-p\;S\;{\vec {u}}_{x}\;$ la force pressante de l'air du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ d'aire $\;S\;$», $\;p\;$ étant la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air au niveau du piston,
     Exposé : Ci-contre l'écriture de la condition d'équilibre du piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}-p\;S\;{\vec {u}}_{x}={\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p_{\text{atm}}\;S-p\;S=0\;$» soit

«$\;p=p_{\text{atm}}\;$»

     Exposé : Ci-contre ${\big \{}$«$\;p_{\text{atm}}\;$» étant la pression extérieure exercée sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ mais aussi $\;{\big (}$dans la mesure où le piston est incompressible, sans masse ou avec masse mais « dont l'accélération est quasi nulle »${\big )}\;$ la pression extérieure «$\;p_{e}\;$» que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué de l'air remplissant le cylindre horizontal fermé par le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\!{\big \}}$.

Schéma initial (hors équilibre mécanique) d'une quantité d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile, avec un opérateur exerçant une force horizontale sur le côté extérieur du piston au contact de l'atmosphère

Schéma final représentant l'équilibre mécanique d'une quantité d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile, avec un opérateur exerçant une force horizontale sur le côté extérieur du piston au contact de l'atmosphère

     Exposé : Ci-contre le schéma du même système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ mobile sans frottement solide, avec le côté extérieur de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ au contact de l'atmosphère et l'air initialement en équilibre mécanique ${\big \{}$c'est-à-dire tel que sa pression $\;{\big (}$interne${\big )}$ «$\;p_{I}\;$» est égale à la pression atmosphérique «$\;p_{\text{atm}}\;$»${\big \}}$,
     Exposé : Ci-contre l'état initial de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, représenté ci-contre, étant rendu « hors équilibre mécanique » par ajout d'une force supplémentaire $\;{\vec {F}}$, de norme constante, horizontale, dirigée vers le fond du cylindre, exercée par un opérateur sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)$ $\;{\big \{}$voir ci-contre les forces horizontales s'exerçant sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ dans cet état initial${\big \}}$, en effet la résultante des forces appliquées au piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ dans l'état initial s'écrit «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}+{\vec {F}}-p_{I}\;S\;{\vec {u}}_{x}$ $={\vec {F}}\;$ étant donné que $\;p_{I}=p_{\text{atm}}\;$» ce qui établit que l'état initial n'est pas un état d'équilibre $\;{\big \{}$nous pouvons en déduire que le piston se déplacera $\;{\big (}$au moins initialement${\big )}\;$ vers le fond du cylindre, ce qui créera une $\;\nearrow \;$ de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air $\;{\big (}$au moins initialement${\big )}\;$ au niveau du piston${\big \}}$ ;
     Exposé : ci-contre le schéma du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en nouvel équilibre mécanique après une durée approximative d'une demi-minute d'uniformisation de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air $\;{\big (}$celle-ci prenant la valeur «$\;p_{F}\;$»${\big )}$ ; le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ acquiert un nouvel équilibre déterminé par la nullité de la résultante des forces appliquées au piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ soit, avec «$\;{\vec {F}}={\overline {F}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans lequel $\;{\overline {F}}\;$ est $\;>0\;$» «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}+{\overline {F}}\;{\vec {u}}_{x}-p_{F}\;S\;{\vec {u}}_{x}={\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p_{\text{atm}}\;S+{\overline {F}}-p_{F}\;S=0\;$» soit finalement une pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air dans ce nouvel équilibre mécanique égale à

«$\;p_{F}=p_{\text{atm}}+{\dfrac {\overline {F}}{S}}\;$»

     Exposé : Ci-contre ${\bigg \{}$la pression atmosphérique «$\;p_{\text{atm}}\;$» étant une composante de la pression extérieure exercée sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ et «$\;{\dfrac {\overline {F}}{S}}\;$» son autre composante correspondant à la surpression que l'opérateur impose mais cette somme «$\;p_{\text{atm}}+{\dfrac {\overline {F}}{S}}\;$» est aussi $\;{\big (}$dans la mesure où le piston est incompressible, sans masse ou avec masse mais « dont l'accélération est quasi nulle »${\big )}\;$ la pression extérieure «$\;p_{e}\;$» que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué de l'air remplissant le cylindre horizontal fermé par le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ poussé par une force horizontale $\;{\vec {F}}={\overline {F}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ soit «$\;p_{e}=p_{\text{atm}}+{\dfrac {\overline {F}}{S}}\;$»${\bigg \}}$.

     Exposé : L'opérateur exerçant la force supplémentaire $\;{\vec {F}}\;$ sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ à partir de l'instant $\;t=0\;$ $\Rightarrow$ la pression extérieure que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ subit, à cet instant $\;t=0$, une discontinuité de 1^ère espèce passant de «$\;p_{e}(t<0)=p_{\text{atm}}\;$» à «$\;p_{e}(t>0)=p_{\text{atm}}+{\dfrac {\overline {F}}{S}}\;$»,
     Exposé : L'opérateur exerçant la force supplémentaire $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ sur le piston $\;\color {transparent}{\left(S_{\text{pist}}\right)}\;$ à partir de l'instant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ cette discontinuité de pression extérieure exercée sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ $\Rightarrow$ une modification continue de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, la faisant passer de «$\;p_{I}<p_{e}(t>0)\;$ caractérisant un état hors équilibre mécanique » à «$\;p_{F}=p_{e}(t>0)\;$ caractérisant un état d'équilibre mécanique ».

     Remarque : « l'une ou l'autre des évolutions de mise à l'équilibre mécanique du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ mobile sans frottement solide $\;{\big \{}$la 1^ère avec contact de la seule atmosphère sur le côté extérieur du piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ et la 2^ème avec action, sur ce même côté, d'une force supplémentaire constante${\big \}}$, évolutions pour lesquelles la pression extérieure est une contrainte extérieure du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$,
     Remarque : « l'une ou l'autre des évolutions de mise à l'équilibre mécanique est qualifiée de « monobare » car l'une ou l'autre de ces évolutions se fait « sans variation de pression extérieure » $\;{\bigg \{}$pour la 1^ère «$\;p_{e,\,1}=$ $p_{\text{atm}}=cste_{\,1}\;$» et pour la 2^ème «$\;p_{e,\,2}=p_{\text{atm}}+{\dfrac {\overline {F}}{S}}=cste_{\,2}\;$»${\bigg \}}\;$.

Cas d’un cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par un « piston massique »

     Préliminaire : Dans ce paragraphe nous étudions le même système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre fermé par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ mobile sans frottement solide, le côté extérieur de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ étant au contact de l'atmosphère mais, à la différence du paragraphe précédent,
     Préliminaire : Dans ce paragraphe le cylindre est vertical à ouverture supérieure et le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ fermant ce cylindre a une masse $\;m_{\text{pist}}\;$ dont une conséquence est que son poids $\;m_{\text{pist}}\;{\vec {g}}\;$ dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme est $\;\parallel \;$ à l'axe du cylindre et a donc une influence sur la position d'équilibre de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ et par suite sur l'état d'équilibre mécanique du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ ;
     Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'y déterminer la force pressante que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur l'air du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le but d'en déduire la pression extérieure exercée sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ simultanément à l'obtention de l'état d'équilibre mécanique de ce dernier.

Schémas représentant une quantité d'air remplissant un cylindre fermé par un piston massique, mobile, le côté extérieur du piston étant au contact de l'atmosphère, dans les 3 situations successives : cylindre horizontal et système à l'équilibre mécanique, rotation rapide du cylindre rendant ce dernier vertical à ouverture supérieure et système d'abord hors équilibre mécanique, puis en équilibre mécanique

     Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 1^er schéma d'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ de masse $\;m_{\text{pist}}$, mobile sans frottement solide, le côté extérieur de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ étant au contact de l'atmosphère, avec représentation des forces s'exerçant sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ dans la situation d'équilibre du piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ et par suite celle d'équilibre mécanique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, les forces s'exerçant sur $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ étant :

• le poids de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ «$\;m_{\text{pist}}\;{\vec {g}}=m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big (}{\vec {u}}_{x}\;$ étant unitaire vertical descendant${\big )}$,
• la réaction du cylindre «$\;{\vec {R}}={\overline {R}}\;{\vec {u}}_{x}\;$» sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)$,
• la force pressante de l'atmosphère sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ d'aire $\;S\;$ «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\big (}{\vec {u}}_{y}\;$ étant unitaire, horizontal le long de l'axe du cylindre, orienté du piston vers le fond du cylindre${\big )}\;$ et
• la force pressante de l'air du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ d'aire $\;S\;$ «$\;-p_{I}\;S\;{\vec {u}}_{y}\;$», «$\;p_{I}\;$ étant la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air à l'équilibre mécanique égale à $\;p_{\text{atm}}\;$»,

     Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 2^ème schéma, après rotation rapide de $\;-90\;{\text{°}}\;$ autour de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ du cylindre de façon à le rendre vertical à ouverture supérieure, représentant ce dernier et le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ juste après rotation c'est-à-dire le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ hors équilibre et le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ hors équilibre mécanique avec schématisation des forces s'exerçant sur $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ dans cette situation initiale juste après rotation, les forces s'exerçant sur $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ étant alors :

• le poids de $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ «$\;m_{\text{pist}}\;{\vec {g}}=m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$»,
• la réaction du cylindre «$\;{\vec {R}}'\;$» sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ maintenant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{x}\;$ c'est-à-dire, dans la mesure où il n'y a aucune action horizontale et en absence de frottement solide, «$\;{\vec {R}}'={\vec {0}}\;$»,
• la force pressante de l'atmosphère sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ d'aire $\;S\;$ «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big (}$force ayant subi une même rotation de $\;-90\;{\text{°}}\;$ autour de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ que le cylindre${\big )}\;$ et
• la force pressante de l'air du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ d'aire $\;S\;$ «$\;-p_{I}\;S\;{\vec {u}}_{x}\;$», $\;{\big (}$force ayant subi également une même rotation de $\;-90\;{\text{°}}\;$ autour de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ que le cylindre${\big )}$ ;

     Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 2^ème schéma, nous vérifions que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ n'est plus à l'équilibre, « la résultante des forces appliquées valant $\;m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}+p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}-p_{I}\;S\;{\vec {u}}_{x}=$ $m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\;{\big (}$dans la mesure où $\;p_{I}=p_{\text{atm}}{\big )}\;$ est par conséquent $\;\neq {\vec {0}}\;$» ce qui caractérise une situation hors équilibre pour le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ ${\big \{}$nous pouvons en déduire que le piston se déplacera $\;{\big (}$au moins initialement${\big )}\;$ vers le fond du cylindre, ce qui créera une $\;\nearrow \;$ de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air $\;{\big (}$au moins initialement${\big )}\;$ au niveau du piston${\big \}}$ ;

     Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 3^ème schéma représentant le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué de la quantité fixée d'air précédente remplissant le cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par le piston massique, en nouvel équilibre mécanique après une durée approximative d'une demi-minute d'uniformisation de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air $\;{\big (}$celle-ci prenant la valeur «$\;p_{F}\;$»${\big )}$ ; le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ acquiert un nouvel équilibre déterminé par la nullité de la résultante des forces appliquées au piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ soit, «$\;p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}+m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}-p_{F}\;S\;{\vec {u}}_{x}={\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p_{\text{atm}}\;S+m_{\text{pist}}\;g-p_{F}\;S=0\;$» soit finalement une pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air dans ce nouvel équilibre mécanique égale à

«$\;p_{F}=p_{\text{atm}}+{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$»

     Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 3^ème schéma ${\bigg \{}$la pression atmosphérique «$\;p_{\text{atm}}\;$» étant une composante de la pression extérieure exercée sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ et «$\;{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$» son autre composante correspondant à la surpression que la gravitation engendre mais cette somme «$\;p_{\text{atm}}+{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$» est aussi $\;{\big (}$dans la mesure où le piston est incompressible et tel que « son accélération est quasi nulle »${\big )}\;$ la pression extérieure «$\;p_{e}\;$» que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué de l'air remplissant le cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par le piston massique $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ soit «$\;p_{e}=p_{\text{atm}}+{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$»${\bigg \}}$.
     Exposé : Ci-contre, « La pression extérieure exercée par un piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ de masse $\;m_{\text{pist}}\;$ sur le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par $\;\left(S_{\text{pist}}\right)$, mobile sans frottement solide, et au contact de la seule atmosphère » est identique à « celle exercée par un piston sans masse sur le même système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ remplissant le même cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par le piston sans masse, mobile sans frottement solide, à condition qu'un opérateur exerce, sur le piston, une force verticale descendante $\;{\vec {F}}\;$ constante égale au poids du piston massique $\;m_{\text{pist}}\;{\vec {g}}\;$» d'où

« un piston massique au-dessus d’un gaz » peut être remplacé, pour la pression extérieure qu'il exerce sur le gaz, par
« un piston sans masse sur lequel est appliquée une force verticale égale au poids du piston massique ».

     Remarques : $\succ \;$Nous vérifions de nouveau, sur l'exemple de ce paragraphe, qu'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tel que « sa pression $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;p_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» ${\big \{}$dans la mesure où elle est d'une part définie et d'autre part uniforme${\big \}}\;$ est $\;\neq \;$ de « la pression extérieure $\;p_{e}\;$ ${\big (}$supposée constante${\big )}\;$ exercée sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est hors équilibre mécanique $\;{\big \{}$à condition toutefois que $\;p_{e}\;$ soit une contrainte extérieure de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}}\;$ et
     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Nous vérifions de nouveau, sur l'exemple de ce paragraphe, qu'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tel que « sa pression $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;p_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» ${\big \{}$supposée d'une part définie et d'autre part uniforme${\big \}}\;$ est $\;=\;$ à « la pression extérieure $\;p_{e}\;$ ${\big (}$supposée constante${\big )}\;$ exercée sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est en équilibre mécanique $\;{\big \{}$ceci n'ayant de sens que si $\;p_{e}\;$ est une contrainte extérieure de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}}$.

     Remarques : $\succ \;$Si, à partir du 1^er schéma, nous effectuons une rotation rapide de $\;+90\;{\text{°}}\;$ autour de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ du cylindre de façon à le rendre vertical à ouverture inférieure, nous obtenons
     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Si, à partir un 2^ème schéma $\;{\big (}$non représenté${\big )}\;$ dans lequel le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué d'air remplissant le cylindre devenu vertical à ouverture inférieure fermée par le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ de masse $\;m_{\text{pist}}$, est hors équilibre mécanique, $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ n'étant pas à l'équilibre, « la résultante des forces appliquées sur $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ dans cet état initial s'écrivant $\;m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}-p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}+p_{I}\;S\;{\vec {u}}_{x}$ $=m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\;{\big (}$dans la mesure où $\;p_{I}=p_{\text{atm}}{\big )}\;$ est en effet $\;\neq {\vec {0}}\;$» ce qui caractérise une situation hors équilibre pour le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ ${\big \{}$nous pouvons en déduire que le piston s'éloignera $\;{\big (}$au moins initialement${\big )}\;$ du fond du cylindre, ce qui créera une $\;\searrow \;$ de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air $\;{\big (}$au moins initialement${\big )}\;$ au niveau du piston${\big \}}$ puis
     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Si, à partir un 3^ème schéma $\;{\big (}$non représenté${\big )}\;$ dans lequel le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué de l'air précédent remplissant le cylindre vertical à ouverture inférieure fermée par le piston massique, a acquis un nouvel équilibre mécanique $\;{\big (}$sous condition d'existence à préciser${\big )}\;$ après une durée approximative d'une demi-minute d'uniformisation de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air $\;{\big (}$celle-ci prenant, sous condition d'existence, la valeur «$\;p_{F}\;$»${\big )}$ ; $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ acquiert un nouvel équilibre déterminé par la nullité de la résultante des forces appliquées à $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ «$\;m_{\text{pist}}\;g\;{\vec {u}}_{x}-p_{\text{atm}}\;S\;{\vec {u}}_{x}+p_{F}\;S\;{\vec {u}}_{x}=$ ${\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;m_{\text{pist}}\;g-p_{\text{atm}}\;S+p_{F}\;S=0\;$» soit finalement une pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de l'air dans ce nouvel équilibre mécanique égale, sous condition d'existence, à

«$\;p_{F}=p_{\text{atm}}-{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$»,
cet équilibre existant si «$\;m_{\text{pist}}\;g\;$ est $\;<\;$ à $\;p_{\text{atm}}\;S\;$» ;

     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Si, à partir un 3^ème schéma $\;\color {transparent}{\big (}$non représenté$\color {transparent}{\big )}\;$ ${\bigg \{}$la pression atmosphérique «$\;p_{\text{atm}}\;$» étant une composante de la pression extérieure exercée sur le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ et «$\;-{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$» son autre composante correspondant à la dépression que la gravitation engendre mais cette somme «$\;p_{\text{atm}}-{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$» est aussi $\;{\big (}$dans la mesure où le piston est incompressible et tel que « son accélération est quasi nulle »${\big )}\;$ la pression extérieure «$\;p_{e}\;$» que le piston $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ exerce sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué de l'air remplissant le cylindre vertical à ouverture inférieure fermée par le piston massique $\;\left(S_{\text{pist}}\right)\;$ soit «$\;p_{e}=p_{\text{atm}}-{\dfrac {m_{\text{pist}}\;g}{S}}\;$»${\bigg \}}$.

Condition d’équilibre mécanique d’un système thermodynamique pour lequel la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure

     L'équilibre mécanique d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ pour lequel la pression extérieure n'est pas une contrainte extérieure est réalisé « si la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est uniforme ».

     Justification : il est nécessaire que deux échantillons mésoscopiques qui se côtoient $\;\left(d{\mathcal {V}}_{1}\right)\;$ et $\;\left(d{\mathcal {V}}_{2}\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soient en équilibre mécanique entre eux donc à la même pression en effet « pour l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{1}\right)\;$ de pression $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;p_{1}\;$», « la pression $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;p_{2}\;$ de l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{2}\right)\;$ joue le rôle de pression extérieure » et comme l'équilibre mécanique d'un système avec son extérieur est que « la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ doit être égale à la pression extérieure » nous en déduisons «$\;p_{1}=p_{2}\;$», ceci étant vrai pour tous les échantillons mésoscopiques de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ justifie l'uniformité de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.

     Remarque : si nous ne nous intéressons qu'à l'équilibre mécanique d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indépendamment d'éventuels équilibres thermique et physique à considérer, il n'y a aucune raison extérieure pour que la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dépende du temps d'où la stationnarité de la pression $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ lors de la seule considération de son équilibre mécanique.

Condition d’équilibre thermique d’un système thermodynamique en contact avec l’extérieur par l’intermédiaire d’une paroi « diathermane »

     Préliminaire : Nous supposerons le système thermodynamique fermé $\;{\Big \{}$nous rappelons que l'étude d’un système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ limité par une surface de contrôle $\;\left(\Sigma \right)\;$ se ramène à celle du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ coïncidant, à l’instant $\;t$, avec l'« ensemble du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ défini à l’instant $\;t\;$ augmenté de ce qui entre $\;{\big (}$éventuellement${\big )}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$», système fermé suivi entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$, ce système fermé coïncidant, à l’instant $\;t+\delta t\;$, avec l'« ensemble du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t+\delta t}\;$ défini à l’instant $\;t+\delta t\;$ augmenté de ce qui est sorti $\;{\big (}$éventuellement${\big )}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$», le système ouvert pouvant être un système « pseudo fermé » subissant une fuite $\;{\big (}$donc aucune entrée entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$${\big )}\;$ ou ne subissant qu’une entrée de matière $\;{\big (}$donc aucune sortie entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$${\big )}\;$${\Big \}}$.

Rappel de la définition de la température (interne) au point M d’un système thermodynamique

     Dans la mesure où le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ peut être considéré comme une juxtaposition de phases élémentaires ou finies, nous pouvons définir, en tout point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, une température locale «$\;T(M)\;$» comme cela a été précisé aux paragraphes « 1^ère définition de la température cinétique d'un système fluide en chacun de ses points M » ou « 2^ème définition (équivalente) de la température cinétique d'un système fluide en équilibre thermodynamique » et « généralisation, définitions équivalentes de la température cinétique d'un système solide en équilibre thermodynamique » du chap.$4$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

Définition de la température extérieure à un système thermodynamique

Définition de la température extérieure à un système thermodynamique

     La température extérieure au point $\;M\;$ de la surface latérale du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est la grandeur scalaire «$\;T_{e}(M)\;$» $\propto \;$ à l’énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules de l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{{\text{ext}},\,M}\right)\;$ de l'extérieur de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ côtoyant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en $\;M\;$ c'est-à-dire $\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p,\,{\text{ext}}}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q,\,{\text{ext}}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{{\text{ext}},\,M})}\;$» $\;{\Big \{}G_{Q,\,{\text{ext}}}\;$ étant le C.D.I. de la molécule quelconque $\;{\big (}$de masse individuelle $\;m_{p,\,{\text{ext}}}\;$${\big )}$ $\;Q\,\in \,\left(d{\mathcal {V}}_{{\text{ext}},\,M}\right)\!{\Big \}}$, la constante de proportionnalité étant telle que «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p,\,{\text{ext}}}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q,\,{\text{ext}}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{{\text{ext}},\,M})}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T_{e}(M)\;$» avec
«$\;k_{B}\;$ constante de Boltzmann égale à $\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$».      La définition de la température extérieure $\;T_{e}(M)\;$ en tout point $\;M\;$ de la surface latérale du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dont l'extérieur est en équilibre thermodynamique peut se réécrire à l'aide de la « vitesse quadratique moyenne des molécules localisées dans l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{{\text{ext}},\,M}\right)\;$ de l'extérieur de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ côtoyant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en $\;M\;$, $\;V_{{\text{ext}},\,M}^{\,*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!G_{Q,\,{\text{ext}}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{{\text{ext}},\,M})}}}\;$», la relation de définition se réécrivant «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p,\,{\text{ext}}}\,\left[V_{{\text{ext}},\,M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T_{e}(M)\;$».

Définition (équivalente) de la température extérieure à un système thermodynamique

     La température extérieure au point $\;M\;$ de la surface latérale du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est la température cinétique «$\;T_{e}(M)\;$» du G.P. en contact avec le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au point $\;M\;$ par l’intermédiaire d’une paroi fixe, rigide et “ diathermane ” quand l’équilibre thermodynamique entre système et G.P. est réalisé »

     Le G.P. joue le rôle de « thermomètre » $\;{\big \{}$pour que la mesure ait une signification, il faut que l’utilisation du thermomètre à G.P. au contact du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ne perturbe pas ce dernier, ce qui est le cas si la quantité de G.P. est très petite par rapport à celle du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et si la température initiale du G.P. n’est pas trop éloignée de celle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}}$.

     Remarques : $\succ \;$Cette définition est équivalente à la définition précédente pour un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique car l’équilibre thermodynamique entre $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et le G.P. situé de l’autre côté de la paroi fixe, rigide et « diathermane », est réalisé quand les molécules situées de part et d’autre de la paroi ont même énergie cinétique microscopique moyenne de translation.

     Remarques : $\succ \;$Dans le cas où le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est entouré de parois solides $\;{\big (}$mobiles ou fixes dans le référentiel d'étude lié au système${\big )}\;$ sur toute la surface latérale du système, il convient de distinguer deux types de parois :
     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Dans $\triangleright \;$des parois « diathermanes » dans chacune desquelles la température est uniforme $\;{\big (}$car toute différence de température à l’intérieur d’une paroi diathermane disparaît assez rapidement dans la mesure où la conduction de la chaleur y est excellente${\big )}\;$ valant «$\;T_{e,\,k}\;$» pour la k^ème paroi diathermane entourant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et appelée « température extérieure à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au niveau de la k^ème paroi diathermane », c’est aussi la température extérieure en tout point extérieur situé au-delà de la paroi diathermane considérée ;
     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Dans $\triangleright \;$des parois « calorifugées » dans chacune desquelles la température reste très hétérogène $\;{\big (}$toute différence de température à l’intérieur d’une paroi calorifugée pouvant y subsister dans la mesure où la conduction de la chaleur est quasi impossible${\big )}\;$ d’où une « multitude de températures extérieures locales différentes au niveau de chaque paroi calorifugée » d'où la définition de la « température extérieure au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au niveau de la k^ème paroi calorifugée » par la température extérieure «$\;T_{e,\,k}\;$» en tout point extérieur au-delà de cette paroi calorifugée mais, cette dernière ne jouant aucun rôle dans l’équilibre thermique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ car la paroi ne peut « céder » aucune chaleur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)$,
           Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Dans $\color {transparent}{\triangleright }\;$des parois « calorifugées » « la température extérieure n’est donc pas une contrainte extérieure pour le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au niveau de la paroi calorifugée ».

Condition d’équilibre thermique d’un système thermodynamique entouré de parois diathermanes

     Pour qu’un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entouré de parois diathermanes puisse atteindre un équilibre thermique, « il faut

• que les parois diathermanes soient à une même température extérieure $\;T_{e}\;$ de façon à ce que l'équilibre thermique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ avec l'extérieur soit possible » et
• que « le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ne soit pas un isolant thermique de façon à ce que l'équilibre thermique $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soit également possible »,

     l'équilibre thermique $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entraînant l'uniformité de la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ «$\;T\;$» du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et

     l'équilibre thermique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ avec l'extérieur entraînant que la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ «$\;T\;$» du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ prend la valeur de la température extérieure «$\;T_{e}\;$» des parois diathermanes d'où

l'équilibre thermique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entouré de parois diathermanes à la même température extérieure «$\;T_{e}\;$»                                    
                                    est réalisé si la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ «$\;T\;$» de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est uniforme et telle que «$\;T=T_{e}\;$».

     Remarques : $\succ \;$Nous pouvons donc affirmer qu'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tel que « sa température $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;T_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» ${\big \{}$dans la mesure où elle est d'une part définie et d'autre part uniforme${\big \}}\;$ est $\;\neq \;$ de « la température extérieure $\;T_{e}\;$ ${\big (}$supposée constante${\big )}\;$ des parois diathermanes entourant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est hors équilibre thermique $\;{\big \{}$«$\;T_{e}\;$» étant effectivement une contrainte extérieure de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}}\;$ et
     Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Nous pouvons donc affirmer qu'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tel que « sa température $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;T_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» ${\big \{}$supposée d'une part définie et d'autre part uniforme${\big \}}\;$ est $\;=\;$ à « la température extérieure $\;T_{e}\;$ ${\big (}$supposée constante${\big )}\;$ des parois diathermanes entourant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est en équilibre thermique $\;{\big \{}$«$\;T_{e}\;$» étant toujours une contrainte extérieure de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}}$.

     Remarques : $\succ \;$Une évolution de système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entouré de parois diathermanes de même température extérieure «$\;T_{e}\;$» constante $\;{\big \{}\!\Rightarrow \;$«$\;T_{e}\;$» contrainte extérieure de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}}\;$
            Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$Une évolution de système thermodynamique $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ entouré de parois diathermanes de même température extérieure «$\;\color {transparent}{T_{e}}\;$» constante est qualifiée de « monotherme » car cette évolution se fait « sans variation de température extérieure » $\;{\big \{}$exemple d'évolution monotherme d'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, « évolution en contact avec un thermostat »${\big \}}$.

Condition d’équilibre thermique d’un système thermodynamique pour lequel la température extérieure n’est pas une contrainte extérieure

     L'équilibre thermique d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ pour lequel la température extérieure n'est pas une contrainte extérieure $\;{\big \{}$et tel que $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soit conducteur de la chaleur${\big \}}\;$ est réalisé « si la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est uniforme ».

     Justification : il est nécessaire que deux échantillons mésoscopiques qui se côtoient $\;\left(d{\mathcal {V}}_{1}\right)\;$ et $\;\left(d{\mathcal {V}}_{2}\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soient en équilibre thermique entre eux donc à la même température en effet « pour l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{1}\right)\;$ de température $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;T_{1}\;$», « la température $\;{\big (}$interne${\big )}$ $\;T_{2}\;$ de l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{2}\right)\;$ joue le rôle de température extérieure » et comme l'équilibre thermique d'un système avec son extérieur est que « la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ doit être égale à la température extérieure » nous en déduisons «$\;T_{1}=T_{2}\;$», ceci étant vrai pour tous les échantillons mésoscopiques de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ justifie l'uniformité de la température $\;{\big (}$interne${\big )}$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.

     Remarque : si nous ne nous intéressons qu'à l'équilibre thermique d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indépendamment d'éventuels équilibres mécanique et physique à considérer, il n'y a aucune raison extérieure pour que la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dépende du temps d'où la stationnarité de la température $\;{\big (}$interne${\big )}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ lors de la seule considération de son équilibre thermique.

Équation d’état sous forme intégrale d’un système thermodynamique monophasé pour une quantité fixée précisant le « lien entre pression, température, volume et quantité du système »

Rappel de la variance d’un système thermodynamique fermé monophasé

     Un système thermodynamique fermé monophasé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est « divariant » $\Rightarrow$ « l’état d’équilibre thermodynamique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ nécessite de choisir indépendamment deux paramètres intensifs » par exemple la « pression $\;p\;$» et la « température $\;T\;$», une conséquence est alors que
           Un système thermodynamique fermé monophasé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ est « divariant » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « tous les autres paramètres intensifs dépendent de ces deux paramètres intensifs choisis » et
           Un système thermodynamique fermé monophasé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ est « divariant » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « les paramètres extensifs $\;{\big (}$comme le volume $\;{\mathcal {V}}\;$${\big )}\;$ dépendent de ces deux paramètres intensifs choisis et de la quantité $\;n\;$ fixée du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$».

Définition, sous forme intégrale, de l’équation d’état d’un système thermodynamique monophasé pour une quantité fixée

Équation d'état (sous forme intégrale) d'un système thermodynamique monophasé en équilibre

     Ayant choisi comme paramètres intensifs indépendants pour définir les états d’équilibre thermodynamique du système monophasé, sa « pression $\;p\;$» et sa « température $\;T\;$», nous appelons « équation d’état $\;{\big (}$sous forme intégrale${\big )}\;$ du système monophasé en équilibre »
     la relation précisant le « volume $\;{\mathcal {V}}\;$» d’une « quantité $\;n\;$ fixée » de ce système monophasé en équilibre en fonction de sa « pression $\;p\;$» et sa « température $\;T\;$» ;
     cette équation d’état est souvent donnée sous forme implicite «$\;f\!\left(p\,,\,T\,,\,n\,,\,{\mathcal {V}}\right)=0\;$».

Équation d’état sous forme locale d’un système thermodynamique monophasé (fermé ou ouvert) précisant le « lien entre pression, température et volume molaire du système »

Définition, sous forme locale, de l’équation d’état d’un système thermodynamique monophasé

Équation d'état (sous forme locale) d'un système thermodynamique monophasé en équilibre

     Le système monophasé étant « divariant » et ayant choisi comme paramètres intensifs indépendants pour définir les états d’équilibre thermodynamique du système monophasé, sa « pression $\;p\;$» et sa « température $\;T\;$», nous appelons « équation d’état sous forme locale du système monophasé en équilibre »,
     la relation précisant le « volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$» du système monophasé en équilibre en fonction de sa « pression $\;p\;$» et sa « température $\;T\;$» ;
     cette équation d’état est souvent donnée sous forme implicite «$\;\Phi \!\left(p\,,\,T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=0\;$».

     Remarques : Une équation d’état sous forme locale d'un système monophasé en équilibre n'utilisant que des grandeurs intensives du système $\;{\big (}$c'est-à-dire des paramètres indépendants de la quantité $\;n\;$ de ce dernier${\big )}$ peut être définie pour tout système thermodynamique en équilibre, que ce système soit fermé ou ouvert.

     Remarques : Parfois le volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$ est remplacé par son inverse c'est-à-dire la concentration volumique molaire «$\;n_{\text{vol}}={\dfrac {n}{\mathcal {V}}}={\dfrac {1}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\;$».

Détermination de la forme locale à partir de la forme intégrale de l’équation d’état d’un système thermodynamique monophasé

     Le paramètre extensif « volume $\;{\mathcal {V}}\;$» d'un système thermodynamique étant $\;\propto \;$ à la « quantité $\;n\;$» de ce dernier doit apparaître dans l'« équation d'état sous forme intégrale du système en équilibre thermodynamique » $\;{\big (}$dont le 1^er membre est écrit sous la forme d'une somme de termes dans lesquels $\;{\mathcal {V}}\;$ et $\;n\;$ ne sont pas en facteur l'un de l'autre${\big )}\;$ avec le « même exposant $\;p\;$» d'où

     en divisant l'« équation d'état sous forme intégrale du système en équilibre thermodynamique » à savoir «$\;f\!\left(p\,,\,T\,,\,n\,,\,{\mathcal {V}}\right)=0\;$» par «$\;n^{p}\;$» nous obtenons «$\;f\!\left(p\,,\,T\,,\,{\dfrac {n}{n}}\,,\,{\dfrac {\mathcal {V}}{n}}\right)=0\;$» c'est-à-dire l'« équation d'état sous forme locale du système en équilibre thermodynamique » à savoir «$\;\Phi \!\left(p\,,\,T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=0\;$».

     Remarque : Nous rappelons que l'« équation d'état sous forme locale d'un système en équilibre thermodynamique » est également applicable à un système ouvert et
     Remarque : Nous rappelons que l'« équation d'état sous forme intégrale d'un système en équilibre thermodynamique » nécessitant que la quantité $\;n\;$ de ce dernier soit précisée, dans le cas d'un système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, nous l'appliquons au « système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{*}\right)\;$ que nous suivons entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$».

Équation d’état sous forme intégrale (ou locale) d’un G.P.

Rappel de l’expression de la pression (cinétique) « p » d’un G.P. en fonction de sa densité volumique particulaire « N_vol », de la vitesse quadratique moyenne « V^* » et de la masse « m_p » d’une molécule de ce gaz en équilibre thermodynamique

     Voir les paragraphes « expression (statistique) de la pression cinétique exercée sur un élément de paroi d'aire dS par le G.P. en équilibre thermodynamique » et « pression cinétique en tout point d'un G.P. en équilibre thermodynamique » du chap.$2$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » :

     la pression $\;{\big (}$cinétique${\big )}\;$ «$\;p\;$» d'un G.P. en équilibre thermodynamique en fonction de sa densité volumique particulaire «$\;N_{\text{vol}}\;$», de la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$» et de la masse «$\;m_{p}\;$» d’une molécule quelconque du gaz s'exprime selon

«$\;p=N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]\;$».

Rappel de l’expression de la température (cinétique) « T » d’un G.P. en fonction de la vitesse quadratique moyenne « V^* » et de la masse « m_p » d’une molécule de ce gaz en équilibre thermodynamique

     Voir le paragraphe « température cinétique T d'un G.P.P. et lien avec l'énergie cinétique moyenne d'agitation moléculaire de translation 〈 k_{molécule, transl} 〉 » du chap.$3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » :

     la température $\;{\big (}$cinétique${\big )}\;$ «$\;T\;$» d'un G.P. en équilibre thermodynamique en fonction de l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }\;$» d'une molécule quelconque du gaz $\;{\big \{}$ou en fonction de la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$» et de la masse «$\;m_{p}\;$» de la même molécule${\big \}}\;$ s'exprime selon

«$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T={\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }\;$»,
«$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$» étant la constante de Boltzmann
ou, avec «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;$»,
«$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;$».

Élimination de la vitesse quadratique moyenne « V^* » et de la masse « m_p » d’une molécule d’un G.P. en équilibre thermodynamique entre l’expression de sa pression « p » et celle de sa température « T », 1^ère équation d’état d’un G.P. sous forme locale utilisant la densité volumique particulaire « N_vol » de ce gaz

     De la relation de définition de la température d'un G.P. en équilibre thermodynamique en fonction de la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$» et de la masse «$\;m_{p}\;$» d'une molécule quelconque de ce gaz «$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;$» on tire «$\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}=3\;k_{B}\;T\;$» que l’on reporte dans
     De l’expression de la pression du G.P. en équilibre thermodynamique en fonction de sa densité volumique particulaire «$\;N_{\text{vol}}\;$», de la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$» et de la masse «$\;m_{p}\;$» d’une molécule quelconque de ce gaz «$\;p=N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]\;$» soit «$\;p=N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;3\;k_{B}\;T\right]\;$» ou finalement

«$\;p=N_{\text{vol}}\;k_{B}\;T\;$».

     Remarque : La relation «$\;p=N_{\text{vol}}\;k_{B}\;T\;$» définit une équation d'état sous forme locale du G.P. étudié car elle ne fait intervenir que des grandeurs définies localement mais,
     Remarque : à l’échelle macroscopique nous ne retenons pas cette forme car elle contient deux grandeurs qui y sont très mal adaptées « la constante de Boltzmann $\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$» et « la densité volumique particulaire du gaz $\;N_{\text{vol}}\sim 10^{25}\;m^{-3}\;$», leur valeur respective excessivement petite pour la 1^ère et excessivement grande pour la 2^nde autorisant leur remplacement pour utiliser des grandeurs adaptées à l'échelle macroscopique $\;\ldots$

Équation d’état sous forme locale d’un G.P.

     Pour obtenir une équation d'état sous forme locale d'un G.P. faisant intervenir exclusivement des paramètres intensifs adaptés à l'échelle macroscopique, nous introduisons :

• la « densité volumique molaire du G.P. $\;n_{\text{vol}}={\dfrac {N_{\text{vol}}}{\mathcal {N}}}\;$» exprimée « en $\;mol\cdot m^{-3}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {N}}\simeq 6,0221\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ est la constante d’Avogadro » ainsi que
• la « constante molaire des G.P. $\;R=k_{B}\;{\mathcal {N}}\simeq 1,3806\;10^{-23}\times 6,0221\;10^{23}\;$ en $\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$» soit finalement «$\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$» ;

     leurs reports dans l'équation d’état sous forme locale d'un G.P. «$\;p=N_{\text{vol}}\;k_{B}\;T\;$» donne «$\;p=\left[n_{\text{vol}}\;{\mathcal {N}}\right]\,{\dfrac {R}{\mathcal {N}}}\;T\;$» d'où la forme locale de l’équation d’état d’un G.P. en équilibre thermodynamique

«$\;p=n_{\text{vol}}\;R\;T\;$» dans laquelle
« la pression $\;p\;$ est en $\;Pa\;$», « la densité volumique molaire $\;n_{\text{vol}}\;$ en $\;mol\cdot m^{-3}\;$»,
« la constante molaire des G.P. $\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$» et « la température $\;T\;$ en $\;K\;$».

     Autre équation d'état sous forme locale d'un G.P. : Très souvent la « densité volumique molaire du G.P. $\;n_{\text{vol}}\;$ exprimée en $\;mol\cdot m^{-3}\;$» est remplacée par son inverse le « volume molaire du même G.P. $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}={\dfrac {1}{n_{\text{vol}}}}\;$ exprimée en $\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$», la forme locale de l’équation d’état d’un G.P. en équilibre thermodynamique devient alors «$\;p={\dfrac {1}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\;R\;T\;$» ou encore

«$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$» dans laquelle
« la pression $\;p\;$ est en $\;Pa\;$», « le volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$ en $\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$»,
« la constante molaire des G.P. $\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$» et « la température $\;T\;$ en $\;K\;$».

Équation d’état sous forme intégrale d’une quantité « n » fixée d’un G.P.

     L'équation d'état sous forme locale d'un G.P. en équilibre thermodynamique «$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$» se réécrivant, pour une quantité fixée $\;n\;$ de ce G.P., de volume $\;{\mathcal {V}}$, donc de « volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}$ $={\dfrac {\mathcal {V}}{n}}\;$», selon «$\;p\;{\dfrac {\mathcal {V}}{n}}=R\;T\;$» nous en déduisons l'« équation d'état sous forme intégrale d'une quantité fixée $\;n\;$ de ce G.P. en équilibre thermodynamique »

«$\;p\;{\mathcal {V}}=n\;R\;T\;$» dans laquelle
« la pression $\;p\;$ est en $\;Pa\;$», « la quantité $\;n\;$ en $\;mol\;$