En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Pendule pesant Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, l'espace physique considéré étant sauf avis contraire « orienté à droite »[1].
On appelle « pendule pesant » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme » et pouvant tourner autour d’un « point fixe autre que son C.D.I[3]. », le solide étant
en « liaison sphérique »[2] « idéale »[4]voir ci-contre un schéma de principe en perspective, ci-dessous la représentation symbolique d'une liaison sphérique[2] avec précision des degrés de translation «» bloqués et de ceux de rotation «» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule pesant pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale[4], par une force , appliquée en et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule[5]
en « liaison pivot avec le point »[7], « idéale »[4]ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une liaison pivot[7] avec précision des degrés bloqués, les degrés de translation «» et des degrés de rotation «», le 3ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule pesant pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale[4], par la composition d'une force , appliquée en , appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel de direction à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule[8].
Le pendule pesant est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;
on note «» la masse du pendule, «» la distance séparant le C.D.I[3]. du pendule de son point fixe dans le référentiel d'étude , référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I[3]. «» le meilleur repérage dans le cas d'une liaison sphérique[2] serait le repérage sphérique de pôle et d'axe vertical descendant mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles secondes des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c'est-à-dire le repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant ;
avec le repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant de l'espace physique « orienté à droite »[1]il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation,
tout point du pendule pesant a pour coordonnées cylindro-polaires «» dans la base locale associée orthonormée directe[9] «» et
le C.D.I[3]. du pendule pesant, pour coordonnées cylindro-polaires «» dans la base locale associée orthonormée directe[9] «».
Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement
Les C.I[10]. de lancement du P.P.(N.A.)[11] dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe ;
s’il s’agit d’une liaison sphérique[2] pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I[10]. de lancement sont les suivantes : « on écarte le P.P.(N.A.)[11] de sa position d’équilibre stable correspondant à sur la verticale de et au-dessous et on le lâche sans vitesse initiale » ou « on écarte le P.P.(N.A.)[11] de sa position d’équilibre stable correspondant à sur la verticale de et au-dessous et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I[3]. située dans le plan vertical contenant » ;
s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I[10]. de lancement peuvent être quelconques toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement à l'axe de la liaison.
Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)
Schéma d'un P.P.(N.A.)[11] à liaison sphérique[2] avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant du C.D.I[3]. du pendule
les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont voir schéma ci-contre
son poids «» de moment vectoriel par rapport à «»[14] dans lequel ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire d'une part ainsi que la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[15] d'autre part soit «» et
les actions de la liaison sphérique en se réduisant à « la réaction [16] appliquée en » de vecteur moment par rapport à «».
Démonstration de la nature plane du mouvement dedans lesde lancement : le théorème du mouvement du C.D.I[3]. appliqué au pendule pesant dans le référentiel terrestre galiléen projeté sur nous conduit à «» ou, les composantes de et de sur étant nulles car est au plan vertical contenant donc à et à on obtient, après simplification par ,
«» ou,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : pour les valeurs de telles que c'est-à-dire instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.[17] pour lesquels et donc , en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale «»[18] et après simplification par , l'équation différentielle suivante
« pour »,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs , en
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes compte-tenu de la continuité des grandeurs [20] et [21] pour tout , ce qui entraîne la continuité de [22] soit finalement
«» ;
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : on détermine la constante par utilisation partielle des C.I[10]. [23],[24] soit, avec «», la réécriture partielle des C.I[10]. sous la forme «» ou «» et par suite
«» ou,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : en simplifiant par non identiquement nul,
«» ou enfin,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : après intégration «», valeur de déterminée par C.I[10]. , soit
«», c'est-à-dire la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.
Démonstration de la nature plane du mouvement dedans lesde lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I[10]. c'est-à-dire qu'on établit «» comme précédemment, la constante se déterminant par utilisation partielle des C.I[10]. [23],[25] soit, avec «», la réécriture partielle des C.I[10]. sous la forme «» ou «» et par suite
«» ou,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : en simplifiant par non identiquement nul,
«» ou enfin,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : après intégration «», valeur de déterminée par C.I[10]. , soit
«», c'est-à-dire la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.
Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté
Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I[3]. et représentation des forces extérieures
Avec les deux types de liaison, « liaison pivot » ou « liaison sphérique[2] avec C.I[10]. de lancement ou », le P.P.(N.A.)[11] ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté et orienté par «»[26], on repère le C.D.I[3]. du P.P.(N.A.)[11] dans le plan vertical du mouvement avec unitaire vertical descendant, unitaire horizontal au 3ème vecteur unitaire horizontal tels que la base cartésienne « soit directe »[9], l'espace physique étant orienté à droite[1], on repère le C.D.I. du P.P.(N.A.) par ses coordonnées polaires de pôle et d’axe orienté par soit, avec la base polaire liée au C.D.I[3]. du P.P.(N.A.)[11] dans ce plan , «»[27], «»[28], «» abscisse angulaire du C.D.I[3]. du P.P.(N.A.)[11] noté «» par la suite en absence d'ambiguïté est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.)[11].
Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A[29]. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « liaison sphérique[2] avec C.I[10]. de lancement ou », mais Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans celle d'une « liaison pivot » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel à on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple[30], ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en du P.P.N.A[29]..
Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire
étant un axe fixe dans le référentiel d’étude galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A[29]. à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe , les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
son poids «» de moment scalaire par rapport à «»[31],
la réaction du point de la liaison sphérique sur le pendule lancé dans les C.I[10]. ou , «»[32] de moment scalaire «»[33] ou la réaction de l'axe de la liaison pivot sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I[10]. compatibles avec la liaison, «»[32] de moment scalaire «»[33] auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel [32],[34] et par suite de moment scalaire relativement à «» ;
l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A[29]. en rotation autour de l'axe , fixe dans le référentiel d'étude galiléen, avec la vitesse angulaire à l'instant , s'écrit
«» dans le cas d'un P.P.N.A[29]. à un degré de liberté, lié à par « liaison sphérique » ou «» dans le cas d'un P.P.N.A[29]. lié à par « liaison pivot », « étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.)[11] relativement à »[35] et « l'accélération angulaire du P.P.(N.A.)[11] à l'instant » soit
en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée,
«» dans le cas d'un P.P.N.A[29]. à un degré de liberté, lié à par « liaison sphérique » ou «» dans le cas d'un P.P.N.A[29]. lié à par « liaison pivot » ou encore,
en normalisant l'équation différentielle en du mouvement du P.P.N.A[29].
«»[36] soit une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, caractérisant un oscillateur non linéaire[37] dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.
Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites
Comme l’équation différentielle en du P.P.(N.A.)[11] est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) [12] »[36], on peut faire les mêmes commentaires[38], rappelés ci-après :
l’équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre n'ayant pas de solution analytique[39] on conclut à
l’absence de résolution analytique[39] exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)[11],
Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations »
Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires »[40] est de lancer le P.P.N.A[29]. avec les C.I[10]. de lancement particulières que la liaison avec ou soit sphérique[2] ou pivot suivantes :
« on écarte le P.P.N.A[29]. de sa position d’équilibre stable[17] et on le lâche sans vitesse initiale[41] » en supposant l’abscisse angulaire initiale de valeur absolue petite c'est-à-dire [42],
« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et l'absence de vitesse angulaire initiale[43] assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas »[44] et restera petite soit
Dans le cadre des « petites élongations angulaires »[40] on a [42] permettant d'effectuer un D.L[45]. à l'ordre un en de au voisinage de [46] selon [42] à l'ordre un en et par suite
l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A[29]. devient linéaire selon «» c'est-à-dire une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en sans terme d'amortissement et homogène.
P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation
On en déduit la « période propre des petites élongations angulaires[40] du P.P.(N.A.)[11] à un degré de liberté » «»[47] ;
on constate que le P.P.(N.A.)[11] « bât plus vite »[48], en un lieu fixé, pour « plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe c'est-à-dire « plus petit »[49] et
on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur plus grande » ainsi le P.P.N.A[29]. sur Terre « bât un peu plus vite »[48] aux pôles qu'à l'équateur[50] et le même P.P.N.A[29]. « bât nettement plus rapidement »[48] sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽)[51],[52].
Intégrale 1ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites
L’équation différentielle du mouvement en du P.P.N.A[29]. étant «», on multiplie celle-ci par «» ce qui donne «» soit, en reconnaissant
dans le 1er terme «» la dérivée temporelle de «» et
dans le 2ndterme«» celle de «»
puis en intégrant entre «» et «» les C.I[10]. étant « quelconque » et « également quelconque » «» soit finalement, en multipliant par «» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1er ordre en
nous verrons au paragraphe « énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la somme des deux termes du membre de gauche «» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.)[11] avec « référence[53] en position horizontale »[54], celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.)[11] avec « référence[53] en même position horizontale »[54], l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A[29]. ;
pour se ramener au choix usuel de la « référence[53] de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable »[17], on ajoute de part et d’autre de l’équation la quantité «» pour reconnaître respectivement dans «» et «» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.)[11] à l’instant et à l’instant initial avec « référence[53] en la position d’équilibre stable »[17] d’où, en notant «» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.)[11], la réécriture de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A[29]. selon
«» dans laquelle « est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.)[11] à l'instant » avec « référence[53] en la position d’équilibre stable »[17].
Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique
si « est à », le mouvement du P.P.N.A[29]. est oscillatoire et périodique de période sous forme intégrale
«» avec «» la période des petites élongations angulaires[40] du P.P.N.A[29].,[55] et, «» l'amplitude des oscillations[56] déterminée par «»[57] ;
si « est à » nous supposons , le mouvement du P.P.N.A[29]. est révolutif et périodique de période sous forme intégrale
si est , «»[58] ou «»[59] avec «» la période des petites élongations angulaires[40] du P.P.N.A[29].,[55] ou enfin, «»[60],[61] ou encore, si est , «»[58] ou «»[62] avec «» la période des petites élongations angulaires[40] du P.P.N.A[29].,[55] ou enfin, «»[63],[61]ou «»[64],[61],
ces dernières expressions de période dans le cas ou établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale »[65],[66] ;
si « est à » nous supposons , il y a mouvement du P.P.N.A[29]. jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables «»[67],[68]où le P.P.N.A[29]. s'arrête définitivement en absence de perturbations extérieures.
Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif
Nous observons deux types de mouvement « pendulaire[70] ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «» énergie mécanique initiale et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire »[71], avec le point «» comme « centre de symétrie »[72] lequel correspond à la position d’équilibre stable[17] du P.P.(N.A.)[11] ;
pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la répétition du motif de l'intervalle, répété « vers les en restant dans le domaine des si » ou « vers les en restant dans le domaine des si », le portrait de phase avec C.I[10]. «» étant l’antisymétrique de celui avec C.I[10]. «», les maxima de valeur absolue de vitesse angulaire «» étant obtenus pour les positions d’équilibre stable[17] «»[73] et les minimade valeur absolue de vitesse angulaire étant obtenus pour les positions d’équilibre instable[67] «»[74].
Conclusion : La « bifurcation » entre les deux types de mouvement « pendulaire[70] et révolutif » correspond à un portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible « pour » ou « pour », cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient le point générique repartant dans le domaine des «» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de » ou dans le domaine des «» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de », ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation .
Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda
Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement
Voir le paragraphe « superposition des trois portraits de phase précédemment tracés » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant P.P.S.(N.A.)[12] par P.P.(N.A.)[11], les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «» du P.P.S.(N.A.)[12] devant être remplacée par celle du rapport «».
Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A[69]. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.)[12] » par « P.P.(N.A.)[11] », « par », « par » et on adapte les C.I[10]. pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant satisfaisant un mouvement pendulaire[70] d'amplitude c'est-à-dire telles que « est à », l'amplitude des oscillations étant déterminée par «», « devant être substitué par dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité[76] d'où l'expression de la période d'un P.P.N.A[29]. sous forme intégrale dans laquelle «» est la période des petites élongations angulaires[40] du P.P.N.A[29].,[55] suivi de sa réécriture sans nouvelle démonstration prouvant le non isochronisme de ce dernier :
« dans laquelle est l'amplitude des oscillations[80] exprimée en et «» la période des « petites élongations angulaires »[40].
Remarques : L'évaluation de la « période par formule de de Borda[79] » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de non petites celles-ci devant être à pour donner un résultat correct à près.
Remarques : Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda” d'un P.P.S.N.A[69]. en mouvement oscillatoire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A[29]. en mouvement pendulaire[70]la C.I[10]. de vitesse angulaire du P.P.S.N.A[69]. dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant , l'amplitude des oscillations est égale à , la comparaison avec la « période par formule de de Borda[79] » donnant :
pour on trouve un écart relatif de entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
pour on trouve un écart relatif de entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
pour on trouve un écart relatif de entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.
Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique »)
Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un pendule pesant dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours
Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A[29]., les frottements fluide et solide ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période »[81] ;
nous pouvons utiliser le pendule pesant, schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
une tige cylindrique, de C.D.I[3]. , de masse , de longueur et de rayon , pouvant être fixée en sur un axe horizontal de rotation l’axe du potentiomètre décrit ci-après,
un cylindre métallique, de C.D.I[3]. , de masse , de longueur , de rayon extérieur et de rayon intérieur , dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I[3]. global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
un potentiomètre bobiné tours de voir ci-dessous à droite, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S.[82] entre et , la position angulaire du pendule étant alors à la tension «» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «» à l’équilibre inférieure à [83], l’échelle de tension est alors de « pour » en effet aux bornes des tours de potentiomètre donne par tour et pour de tour correspondant à une élongation angulaire de ;
Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface pythonExemple de potentiomètre tours de
Remarque : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise , utiliser un potentiomètre monotour de en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de , « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de »[84], l’échelle de tension est de « pour »[84], l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série », voir le paragraphe « utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” » plus loin dans le chapitre Remarque : voir un exemple de potentiomètre monotour et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” » plus loin dans le chapitre.
Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python
On réalise une acquisition de la tension avec une période d’échantillonnage de et pendant une durée de [85]correspondant donc à valeurs captées la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule[86], le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant :
import pycanum.main as pycan
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy
import math
sys = pycan.Sysam("SP5")[87] sys.config_entrees([0],[1])
te=1e-2 # période d'échantillonnage
ne=7000 # nombre d'échantillons
duree=te*ne
sys.config_echantillon(te*10**6,ne) # période d'échantillonnage en µs
sys.acquerir()
t=sys.temps()
u=sys.entrees()
echelle = 0.6/(math.pi/2) # conversion tension->angle
angle=u[0]/echelle
temps=t[0]
numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle])
sys.fermer()
plt.figure(figsize=(18,6)) # taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A[89]. écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface pythonDiagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A[89]. écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python
puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire[90], le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous
from matplotlib.pyplot import * # importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_"
import numpy as np
import math
import scipy.signal
[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt")
figure(figsize=(10,6)) # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(temps,angle)
xlabel("t (s)")
ylabel("theta (rad")
axis([0,70,-2,2])
grid() # ajoute une grille de fond sur la figure
ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A[89]. par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «» avec « la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité »[91] il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas[92] avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre
a=[te] # dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
b=[1,-1] # le 1er et 2nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle)
figure(figsize=(10,6)) # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(temps,omega)
xlabel("t (s)")
ylabel("omega (rad/s")
axis([0,70,-10,10])
grid() # ajoute une grille de fond sur la figure
on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :
on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « filtre à R.I.F.[93] » qui est basée sur une réponse C.L[94]. d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «», les cœfficients «» étant des constantes réelles « définissant le filtrage »[95],[96], le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle :
Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A[89]. écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations
P=20 # un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif[97] fc=0.05 # une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') # utilise le module « filtre à R.I.F.[93] »[98] y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') # réalise le filtrage par convolution[99] du signal θ par le filtre passe-bas simulé
ny = y.size # définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
ty = np.zeros(ny) # définit une liste « ty » contenant ny zéros
for k in range(ny): # remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
ty[k] = P*te+te*k[100] # … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
figure(figsize=(10,6)) # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(temps,angle,"b") # tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
plot(ty,y,"r") # tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
xlabel("t (s)")
ylabel("theta (rad)")
axis([50,60,-0.3,0.3])
grid() # ajoute une grille de fond sur la figure
Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A[89]. écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas
ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A[89]. par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «» avec « la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre
a=[te] # dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
b=[1,-1] # le 1er et 2nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
figure(figsize=(10,6)) # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(ty,omega)
xlabel("t (s)")
ylabel("omega (rad/s)")
axis([0,70,-10,10])
grid() # ajoute une grille de fond sur la figure
Portrait de phase d'un P.P.A[89]. écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur
enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A[89]. à partir de son point de lancement, on élimine les 1ères valeurs des listes de temps «», de positions angulaires «» et de vitesses angulaires «» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement celle de vitesses angulaires étant divisée par de façon à ce que ces dernières soient exprimées en , le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre
debut = int(1.0/te) # retourne un entier à partir de 1.0/te
y = np.delete(y,range(debut)) # supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
ty = np.delete(ty,range(debut)) # supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) # supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans …
# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
figure(figsize=(6,6)) # taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
plot(y,omega)
axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
xlabel("theta")
ylabel("omega")
grid() # ajoute une grille de fond sur la figure
Remarque : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A[29]. à partir de celles du P.P.A[89]. obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même
Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi »
Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un pendule pesant « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi »[101],[102] ; ci-après est proposée
Exemple de potentiomètre monotour de Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel RegressiPhoto du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A[89].
une 1ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » voir ci-contre à gauche associée au logiciel « Regressi »[101]on peut utiliser le dispositif du paragraphe « description du dispositif expérimental (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour comme celui représenté ci-contre à droite et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, une 1ère manipulation peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire[103] mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs
Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi »
Dans ce paragraphe est proposée une 2nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 on peut utiliser le dispositif du paragraphe « description du dispositif expérimental » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour comme celui représenté ci-dessus à droite et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 »[104],[105] et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi »[101].
Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 »[104] et réglage du zéro[106] : l'acquisition de la tension sera faite avec une période d’échantillonnage de et pendant une durée de il y aura donc valeurs captéespour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « description du dispositif expérimental (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV)[83] » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de on trouve [107], l'échelle de correspondance « pour » en effet pour un tour de potentiomètre donne pour de tour correspondant à une élongation angulaire de .
Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement acquisitions après avoir écarté le pendule pesant de sa position d'équilibre stable[17] et l'avoir lâché sans vitesse initiale
la 1ère correspondant à une grande amplitude voisine de avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience et
la 2ndecorrespondantà une grande amplitude voisine de avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience , puis
Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «»[108] et «» c'est-à-dire la tension associée à l'élongation angulaire.
Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi »[101] : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de « Regressi »[101], on obtient un tableau donnant «» et «», on modifie alors «» en «»[109] et on crée la nouvelle variable «» à partir de «» selon «» étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en [110] puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A[29].,[111] écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 »[104] et « Regressi »[101]Portrait de phase d'un P.P.N.A[29].,[111] écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 »[104] et « Regressi »[101]Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A[89].,[112] écarté de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 »[104] et « Regressi »[101]
Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.[29],[111] : ayant écarté le P.P.N.A[29].,[111] de de sa position d'équilibre stable[17] et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 »[104] sur une durée de après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant «» étant en et en , enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi »[101], le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A[29].,[111] obtenu par « Regressi »[101] étant présenté ci-contre : on y détermine une période de «» avec une amplitude «» et bien que le tracé semble, à 1ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique[113],[114].
Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.[29],[111] : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi »[101] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A[29].,[111] écarté de de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi »[101] selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire sans que les différents points successifs ne soient reliés, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude .
Portrait de phase du P.P.N.A.[29],[111] : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi »[101] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A[29].,[111] écarté de de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A[29].,[111] selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé[114], ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique
Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.[89],[112] : ayant écarté le P.P.A[89].,[112] de [115] de sa position d'équilibre stable[17] et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 »[104] sur une durée de , après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant «» étant en et en , enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi »[101], le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A[89].,[112] obtenu par « Regressi »[101] étant présenté ci-contre : on y détermine une pseudo-période de «» avec une amplitude de la 1ère pseudo-oscillation «», la de la pseudo-amplitude étant exponentielle[116],[117] on peut définir le décrément logarithmique[118] dont la valeur est «» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement la pseudo-amplitude selon .
Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.[89],[112] : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi »[101] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A[29].,[112] écarté de de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi »[101] selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire sans que les différents points successifs ne soient reliés, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1ère pseudo-amplitude .
Portrait de phase du P.P.A.[89],[112] : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi »[101] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A[89].,[112] écarté de de sa position d'équilibre stable[17] et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A[89].,[112]sans que les différents points successifs ne soient reliés selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » tracé non fourni à allure de « patatoïde » car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote .
On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A[89]. du paragraphe « utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite elle vaut en effet , la pseudo-période valant et, en supposant que la pseudo-amplitude exponentiellement[119], le décrément logarithmique[118] est estimée à «» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude selon »[119].
Le pendule pesant P.P. devient « amorti A.» s’il est soumis en plus de son poids et des actions de la liaison en à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
si la liaison est une liaison pivotidéale, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I[10]. de lancement peuvent être quelconques toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement à l'axe de la liaison ;
si la liaison est une liaison sphérique[2] pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I[10]. de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A[29]. permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : « on écarte le P.P.A[89]. de sa position d’équilibre stable[17] et on le lâche sans vitesse initiale » ou « on écarte le P.P.A[89]. de sa position d’équilibre stable[17] et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I[3]. située dans le plan vertical contenant ».
Remarque : dans le cas où la liaison est une liaison pivotidéale, les C.I. de lancement sont aussi les « ou », la liaison pivot imposant que le C.D.I[3]. ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison
Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.
Schéma d'un P.P.A[89]. à liaison sphérique[2] avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant du C.D.I[3]. du pendule, étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée
les actions extérieures exercées sur le pendule sont voir schéma ci-contre
son poids «» de moment vectoriel par rapport à «»[121],
les actions de la liaison sphérique en se réduisant à « la réaction [122] appliquée en » de vecteur moment par rapport à «» et
les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires »[123] : un pseudo point centré en de la surface latérale[124] du front du P.P.A[89]. de maître couple d'aire [125] subissant une force de frottement fluide linéaire «» où «»[126] est l'aire du maître couple du P.P.A[89]. en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite ainsi que en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien[127], «» étant une constante positive exprimée en caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la viscosité dynamique[128] et de la densité du fluide[129] ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «»[126] ou, en définissant , point solidaire du pendule, selon «»[126],[130],[131] et en dérivant par rapport au temps «»[126], la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire «»[132], résultante s’appliquant en «» a priori au plan vertical contenant [133] ; on en déduit le vecteur moment par rapport à des forces de frottement fluide «»[132] soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel[134], «» ; sachant qu'avec les C.I[10]. de lancement « au plan vertical contenant »[133] d'une part et en faisant l'hypothèse que «»[133] d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «» et, avec «», expliciter «»[135], on obtient «»[136] ou encore, en posant «»,
«».
Démonstration de la nature plane du mouvement dedans lesde lancement : le théorème du mouvement du C.D.I[3]. appliqué au P.P.A[89]. «» avec « et dans le plan » d'une part ainsi que «»[137] soit « avec » d'autre part, d'où, en projetant sur , l'équation suivante «» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «»[18] dont la validité suppose «», Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : « avec »[138] soit encore, en multipliant les deux membres par , la réécriture de l'équation selon soit finalement l'équation différentielle suivante
« pour »,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs , en «»[139] et Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes compte-tenu de la continuité des grandeurs [20] et [21] pour tout , ce qui entraîne la continuité de [22] soit finalement
«» ;
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : on détermine la constante par utilisation partielle des C.I[10]. [23],[24] soit, avec «», la réécriture partielle des C.I[10]. sous la forme «» ou «» et par suite
«» ou,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : en simplifiant par non identiquement nul,
«» ou enfin,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : après intégration «», valeur de déterminée par C.I[10]. , soit finalement
«», c'est-à-dire la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.
Démonstration de la nature plane du mouvement dedans lesde lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I[10]. «» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I[10]. [23],[25] soit, avec «», la réécriture partielle des C.I[10]. sous la forme «» ou «» et par suite
«» ou,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : en simplifiant par non identiquement nul,
«» ou enfin,
Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : après intégration «», valeur de déterminée par C.I[10]. , soit
«», c'est-à-dire la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.
Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté
Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I[3]. et représentation des forces extérieures, étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée
Avec les deux types de liaison, « liaison pivot » ou « liaison sphérique[2] avec C.I[10]. de lancement ou », le P.P.A[89]. ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté et orienté par «»[26], on repère le C.D.I[3]. du P.P.A[89]. dans le plan vertical du mouvement avec unitaire vertical descendant, unitaire horizontal au 3ème vecteur unitaire horizontal tels que la base cartésienne « soit directe »[9], l'espace physique étant orienté à droite[1], on repère le C.D.I. du P.P.A. par ses coordonnées polaires de pôle et d’axe orienté par soit, avec la base polaire liée au C.D.I[3]. du P.P.A[89]. dans ce plan , «»[27], «»[28], «» abscisse angulaire du C.D.I[3]. du P.P.A[89]. noté «» par la suite en absence d'ambiguïté est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A[89]. ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A[89]. ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier[127] et par suite que le point d'application de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus[130] en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de » et, d'autre part, « sur le support de »[133].
Les actions extérieures agissant sur le P.P.A[89]. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « liaison sphérique[2] avec C.I[10]. de lancement ou », mais Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans celle d'une « liaison pivot » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel à on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple[30], ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en du P.P.A[89]..
Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté
étant un axe fixe dans le référentiel d’étude galiléen, on peut appliquer au P.P.A[89]. à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe , les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
son poids «» de moment scalaire par rapport à «»[140],
la réaction du point de la liaison sphérique sur le pendule lancé dans les C.I[10]. ou , «»[32] de moment scalaire «»[33] ou la réaction de l'axe de la liaison pivot sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I[10]. compatibles avec la liaison, «»[32] de moment scalaire «»[33] auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel [32],[34] et par suite de moment scalaire relativement à «»,
la résultante des forces de frottement fluide linéaire «»[141] dont le moment vectoriel évalué relativement à étant «»[142] permet de déduire le moment scalaire relativement à sachant que s'identifie à «» soit, en posant et en remplaçant par en absence d'ambigüité, «» ;
l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A[89]. en rotation autour de l'axe , fixe dans le référentiel d'étude galiléen, avec la vitesse angulaire à l'instant , s'écrit
«» dans le cas d'un P.P.A[89]. à un degré de liberté, lié à par « liaison sphérique » ou «» dans le cas d'un P.P.A[89]. lié à par « liaison pivot », « étant le moment d'inertie du P.P.A[89]. relativement à »[35] et « l'accélération angulaire du P.P.A[89]. à l'instant » soit
en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée,
«» dans le cas d'un P.P.A[89]. à un degré de liberté, lié à par « liaison sphérique » ou «» dans le cas d'un P.P.A[89]. lié à par « liaison pivot » ou encore,
en normalisant l'équation différentielle en du mouvement du P.P.A[89].
«»[143] soit une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme linéaire du 1er ordre, caractérisant un oscillateur non linéaire amorti[37] dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.
Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites
Comme l’équation différentielle en du P.P.A[89]. est de même nature que celle du « P.P.S.A. [120] »[143], on peut faire les mêmes commentaires[144], rappelés ci-après :
l’équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre n'ayant pas de solution analytique[39], l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à
l’absence de résolution analytique[39] exacte de l’équation différentielle du P.P.A.[89],
la seule possibilité est une résolution approchée
analytique[39] dans le cas d’« élongations angulaires petites[40] » voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe ou
Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.[89]dans le cas des petites élongations angulaires[40] : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires »[40] est de lancer le P.P.A[89]. avec les C.I[10]. de lancement particulières que la liaison avec ou soit sphérique[2] ou pivot suivantes :
Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :« on écarte le P.P.A[89]. de sa position d’équilibre stable[17] et on le lâche sans vitesse initiale[41] » en supposant l’abscisse angulaire initiale de valeur absolue petite c'est-à-dire [42], l'absence de vitesse angulaire initiale[43] assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas »[145] et restera petite soit «[42] » ;
Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :dans le cadre des « petites élongations angulaires »[40] on a [42] permettant d'effectuer un D.L[45]. à l'ordre un en de au voisinage de 0[46] selon [42] à l'ordre un en et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A[89]. devient linéaire selon
«»
Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :c'est-à-dire une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en avec terme d'amortissement et homogène.
Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :Le P.P.A[89]. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires »[40] et dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmoniqueamorti » de pulsation propre «» appelée « pulsationpropredes petites élongations angulaires »[40] et de facteur d’amortissement «» tel que «» ou «» d’où
Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité
Remarque : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à .
Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A.
Schéma d'un P.P.S.N.A[69]. à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe [146],[147] et représentation des deux forces s'appliquant sur le point du P.P.S.N.A[69].
Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant l'axe passant par et au plan vertical initial, le mouvement de est circulaire d'axe ;
il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe [146],[147] pour repérer le point ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle et d'axe polaire le plan étant orienté par , les coordonnées polaires de étant «»[148] et la base polaire du plan liée au point «», définissant l'angle polaire de , angle orienté par , voir ci-contre.
Le mouvement du point étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «» dans laquelle «, l'abscisse angulaire du point est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen , la détermination de l'équation différentielle en devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point dans le référentiel galiléen ;
le point est soumis à deux forces :
une force à distance « le poids de » «» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation s'écrit «»[31],[149] et
une force de contact « la tension de la tige » «a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation vaut «»[150] ;
l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A[69]. en rotation autour de l'axe , fixe dans le référentiel d'étude galiléen, avec la vitesse angulaire à l'instant , s'écrit
«» dans le cas d'un P.P.S.N.A[69]. à un degré de liberté, lié à par « tige rigide inextensible », « étant le moment d'inertie du point matériel relativement à » défini par où est la distance orthogonale de à c'est-à-dire la longueur de la tige et « l'accélération angulaire du point matériel à l'instant » soit
en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée,
«» dans le cas d'un P.P.S.N.A[69]. à un degré de liberté, lié à par « tige rigide inextensible » ou,
en normalisant l'équation différentielle en du mouvement du P.P.S.N.A[69].
«» soit une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, caractérisant un oscillateur non linéaire[37] dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.
Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité
Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.[151] : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » plus exactement les zéros de la « composante de sur » à savoir «», l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «» et l’équilibre nécessitant «» ;
Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «»[152] et que l’équilibre nécessite «», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir
Retour sur la détermination de la stabilitéou de l'instabilitédes équilibres d'un P.P.S.[151] : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » ainsi au voisinage de «», «» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «», «» force répulsive caractérisant un équilibre instable[154], nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur »[155] :
Retour sur la détermination de la stabilitéou de l'instabilitédes équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, Retour sur la détermination de la stabilitéou de l'instabilitédes équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » s’il est « répulsif », l’équilibre est instable Retour sur la détermination de la stabilitéou de l'instabilitédes équilibres d'un P.P.S. : ainsi au voisinage de «», «» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «», «» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable ; Retour sur la détermination de la stabilitéou de l'instabilitédes équilibres d'un P.P.S. : on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S[151]. identique à celle développée au paragraphe « méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».
En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en termes de moment scalaire moteur
Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe :
Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
ceux des forces « motrices »[156] qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
ceux des forces « non motrices » qui sont au mouvement correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient au mouvement, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
soit «» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe et ne s’annulant pas avec le mouvement »[157], les abscisses angulaires «» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «» à savoir les valeurs « telles que ».
Détermination de la stabilitéou de l'instabilitédes équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe :
pour étudier la stabilité ou l'instabilité de l’équilibre repéré par « telle que », faire un D.L[45]. à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur » au voisinage de la position d’équilibre «» et conclure selon les résultats suivants :
cas usuel «» : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre un «», cas usuel : si « est »[158], est « un moment scalaire de rappel » et l'équilibre est « stable », cas usuel : si « est »[159], est « un moment scalaire répulsif » et l'équilibre est « instable »,
cas peu fréquent «» : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux ou plus : cas peu fréquent : si « est », le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux selon «» et « est toujours du signe de quel que soit le signe de » correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « globalement instable », cas peu fréquent : si « est mais », le développement de au voisinage de est limité à l'ordre trois «», cas peu fréquent : si « est », est « un moment scalaire de rappel » et l'équilibre est « stable », cas peu fréquent : si « est », est « un moment scalaire répulsif » et l'équilibre est « instable »,
cas inexistant en pratique[160] «, et » : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre quatre ou plus : cas inexistant en pratique : si « est » le développement de au voisinage de est limité à l'ordre quatre selon «» et « est toujours du signe de quel que soit le signe de » correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « globalement instable », cas inexistant en pratique : si « est mais », le développement de au voisinage de est limité à l'ordre cinq selon «», correspondant à un équilibre « stable pour » et « instable pour ».
Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu
Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I[10]. [13], le point du P.P.S.N.A. à fil idéal[161] supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe passant par avec repérage polaire de pôle et d'axe de et représentation des deux forces s'appliquant sur lui
Après utilisation successive de la projection sur de la r.f.d.n[162]. appliquée à «» et de l'intégrale 1ère énergétique de «», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil sur ,
«» ;
le fil restant tendu dans tout le mouvement si [163] est , ce qui est réalisé « si le maximum de est » il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de , ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
si « est à »[164], le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de est « pour » et « pour » mais la fonction étant -périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle quel que soit le signe de »[165] c'est-à-dire une même condition indépendante du signe de ,
«» ;
étant une fonction sur , la condition se réécrit «» soit finalement
« la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal[161] soit effectivement révolutif sans que le fil ne se détende est » ;
si « est à », le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de est « dans lequel l'amplitude »[166] mais la fonction étant -périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de , à savoir », la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant
«» ;
étant une fonction sur , la condition se réécrit «» soit finalement
« la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal[161] soit effectivement oscillatoire sans que le fil ne se détende est » ;
finalement si «», le fil se détend pour « telle que » et on obtient «».
↑ 6,06,16,2 et 6,3 Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle resp. , caractérise une translation le long de l'axe resp. , le blocage de translation le long de l'axe étant noté alors que resp. , caractérise une rotation autour de l'axe resp. , le blocage de rotation suivant l'axe étant noté .
↑ Avec la notion de « torseur » exposée en complément au chap. dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « torseur de réaction » dont les « éléments de réduction en » sont «» si l'axe du pivot est , étant la résultante du torseur et son moment au point ici la base pour expliciter le pseudo-vecteur « moment du torseur en » est identifiée à celle pour expliciter le vrai vecteur « résultante du torseur ».
↑ Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté (dans le cas d'une liaison sphérique) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur est nulle c'est-à-dire et par suite , en effet une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer ou limiter une action suivant la direction considérée ce qui est le cas de la composante suivant, la seule action extérieure « le poids » étant suivant ou une composante de réaction suivant une direction existe si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant , mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action ce qui est le cas de la composante desuivant dans les de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant et la vitesse initiale de lancement ayant deux composantes suivant et , mais n'est pas le cas de la composante desuivant dans les ou de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur dans les de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant entraîne un mouvement suivant de façon à ce que la distance reste constante. Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que dans les ou de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. se fait bien dans le plan vertical de lancement
↑ Constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs mais toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « 22 » plus bas dans le chapitre
↑ 20,0 et 20,1 Si une longueur était discontinue de 1ère espèce, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible
↑ 21,0 et 21,1 Si la vitesse angulaire était discontinue de 1ère espèce, cela supposerait la vitesse orthoradiale également discontinue de 1ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », ce qui nécessiterait la discontinuité de 1ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici
↑ 22,0 et 22,1 Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs
↑ 23,023,123,2 et 23,3 En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence on en déduit .
↑ 24,0 et 24,1 Par absence de vitesse initiale on a d'où et d'où .
↑ 25,0 et 25,1 La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a d'où et d'où .
↑ 32,032,132,232,332,4 et 32,5 On a établi dans la note « 16 » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point de la liaison sphérique sur le pendule lancé dans les C.I. ou s'écrivait , c'est-à-dire que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «» ; on établit de même que la réaction de l'axe de la liaison pivot sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la liaison pivot s'écrit «», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel à donc de moment scalaire «».
↑ 33,033,133,2 et 33,3 En effet la force étant à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.
↑ 34,0 et 34,1 Le couple étant de moment vectoriel à .
ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe étant celui du point matériel de masse situé à la distance de soit «» et le C.D.I. confondu avec soit «» l’équation différentielle en du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «» ce qui donne bien, après simplification évidente, «».
↑ 39,039,139,239,339,4 et 39,5 On appelle « solution analytique » d'une équation différentielle, une expression mathématique souvent dite « formule explicite » pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de fonctions de référencec'est-à-dire fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.
↑ On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations reste petite c'est-à-dire si on travaille à près.
↑ 48,048,1 et 48,2 C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.
↑ En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la de mais aussi celle de la distance séparant le C.D.I. du solide de , les variations de et de étant couplées ; toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la de implique celle de en effet « si on divise toutes les distances par », le « moment d’inertie est divisé par » et la « distance par » c'est-à-dire que « est divisé par » dans ce cas la période des petites élongations est divisée par .
↑ L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant et on en déduit c'est-à-dire qu'un même pendule battant à la période de aux pôles battra à la période de à l'équateur.
↑ Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant () pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et () pour la nouvelle Lune.
↑ L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit c'est-à-dire qu'un même pendule battant à la période de sur Terre battra à la période de sur la Lune.
↑ 53,053,153,253,353,4 et 53,5 La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.
↑ 54,054,1 et 54,2 C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle voir note « 53 » plus haut dans ce chapitre «» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur voir note « 53 » plus haut dans ce chapitre est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit
↑ En effet la fonction à intégrer dépendant de est -périodique .
↑ En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre et est la même que celle entre et , la fonction à intégrer étant -périodique et par suite soit finalement .
↑ 61,061,1 et 61,2 On obtiendrait la même expression en supposant .
↑ En effet la fonction à intégrer dépendant de est -périodique » ou «.
↑ En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre et est la même que celle entre et , la fonction à intégrer étant -périodique et par suite soit finalement .
↑ Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période de la fonction à intégrer.
↑ En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.
↑ Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée.
↑ 67,0 et 67,1 Correspondant à sur la verticale de et au-dessus.
↑ Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand est , et puis jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite « est , correspondant à et puis jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau »
↑ Invariance de l’équation en changeant « en » « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée» et Invariance de l’équation en changeant « en » « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée», l’association des deux symétries axiales ou plutôt des deux antisymétries axiales donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale et non une antisymétrie centrale.
↑ Plus précisément si est et , «» alors que Plus précisément si est et , «» ; Plus précisément si est et , «» ou «» alors que Plus précisément si est et , «» ou «».
↑ Plus précisément si est , «» alors que Plus précisément si est , «» ou «».
↑ 75,075,1 et 75,2 La version utilisée étant Scilab, Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.
↑ La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité l'amplitude des oscillations est
↑ Cette dernière expression intégrale de justifiant l'absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A., « dépendant effectivement de » dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.
↑ 79,079,179,2 et 79,3 En hommage à Jean-Charles de Borda (1733 – 1799) mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de , a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec Charles-Augustin Coulomb [(1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion Étienne Lenoir (1744 - 1832), ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de , de masse , et accrochée à un fil de fer de de long (un pied de l’époque valait , la période d'oscillations était de puis, entre et , avec deux astronomes français Pierre Méchain (1744 - 1804) et Jean-Baptiste Delambre (1749 - 1822) (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone.
↑ 83,0 et 83,1 De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de à .
↑ 84,0 et 84,1 En effet aux bornes de fois en montage potentiométrique donne en sortie ouverte aux bornes du potentiomètre, soit pour un tour et pour de tour correspondant à une élongation angulaire de .
↑ Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.
↑ Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « mathplotlib » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » pour faire du calcul scientifique voir « numpy », « scipy » unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module numpy voir « scipy » et « math » permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de .
↑ Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.
↑ Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.
↑ Par exemple et définit un passe-tout toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang de la troncature de la réponse impulsionnelle ainsi que la fréquence de coupure du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage ici égale à
↑ Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « filtre à R.I.F.filtre à réponse impulsionnelle finie» dans la mesure où la fréquence du signal ici de l'ordre de est petite devant la fréquence d'échantillonnage ici égale à ; l'inconvénient de l'utilisation d'un « filtre à R.I.F.filtre à réponse impulsionnelle finie» est que cette méthode élimine les 1ers points ainsi que les derniers, ce qui nécessite que soit petit devant le nombre total de points, devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif étant égal à , choisir de l'ordre de ou plus devrait convenir.
↑ Pour obtenir la kème position filtrée on utilise valeurs de son voisinage.
↑ Le 1er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, le 2ndparamètre du module « scipy.signal.firwin » est la fréquence de coupure encadrée ou non par des crochets, le 3èmeoptionnelparamètre du module « scipy » la fréquence Nyquistc'est-à-dire la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers et le 4èmeparamètre du module « scipy.signal.firwin » la fenêtre utilisée c'est-à-dire la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation ; Harry Nyquist (1889 - 1976) physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la théorie de l'information et de l'automatique, on lui doit le diagramme de Nyquist ainsi que le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon ; Claude Elwood Shannon (1916 - 2001) ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la théorie de l'information ; Richard Wesley Hamming (1915 - 1998) mathématicien américain à qui on doit les codes de Hamming permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la distance de Hamming qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent.
↑ Le produit de convolution de deux suites réelles ou complexes et , est une autre suite, qui se note généralement «» et qui est définie par
;
le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes d'une variable réelle ou complexe et , est une autre fonction, qui se note généralement «» et qui est définie par
↑ Le « filtre à R.I.F. » éliminant les les 1ers points ainsi que les derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant .
↑ Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.
↑ Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !
↑ 104,0104,1104,2104,3104,4104,5 et 104,6 Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».
↑ On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée
↑ « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.
↑ Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.
↑ En effet la tension correspond à l'élongation angulaire d'où la formule
↑ 111,00111,01111,02111,03111,04111,05111,06111,07111,08 et 111,09 Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la liaison pivot sur l'axe reste libre en lubrifiant par exemple
↑ 112,00112,01112,02112,03112,04112,05112,06112,07112,08 et 112,09 Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la liaison pivot sur l'axe reste libre en lubrifiant par exemple et devenant notables si la liaison pivot sur l'axe est plus serrée Dans la suite nous supposerons la liaison pivot sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.
↑ Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles Autres Oscillations Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. dont les différents points successifs ne sont pas reliés et une sinusoïde correspondant au modèle plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire .
↑ On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le pendule pesant amorti par frottements fluides soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation de façon exponentielle.
↑ En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la elle se confond avec une linéaire
↑ Il est aussi possible de vérifier la exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles Autres Oscillations Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.
↑ 119,0119,1 et 119,2 Ce qui sera établi dans le paragraphe « absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement.
↑ Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté (dans le cas d'une liaison sphérique) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur est nulle c'est-à-dire et par suite , en effet une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer ou limiter une action suivant la direction considérée ce qui est le cas de la composante suivant, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant , « le système des forces de frottement fluide » étant une réaction dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer ou limiter une action suivant la direction considérée n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices ou une composante de réaction suivant une direction existe si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant , mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action ce qui est le cas de la composante desuivant dans les de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant et la vitesse initiale de lancement ayant deux composantes suivant et , mais n'est pas le cas de la composante desuivant dans les ou de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur dans les de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant entraîne un mouvement suivant de façon à ce que la distance reste constante. Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que dans les ou de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. se fait bien dans le plan vertical de lancement
↑ Un pseudo point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «».
↑ Le maître couple est fait défini pour un objet en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c'est-à-dire sur un plan à ; quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c'est-à-dire sur le plan à , étant l'aire du maître couple de du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de sur ce plan.
↑ 127,0 et 127,1 Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant et au plan vertical de lancement.
↑ La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux c'est-à-dire qu'il « collera » au plan ; si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude car la couche inférieure à l'altitude tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillementc'est-à-dire la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard que l'on notera s'exprimant en , étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique du fluide par avec le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude , ceci impliquant que la viscosité dynamique du fluide s'exprime en encore appelé « poiseuille » de symbole , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ; c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite c'est-à-dire les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ont la vitesse maximale on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée qui dépend de la viscosité dynamique du fluide ainsi que de sa masse volumique selon s'exprimant donc en mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole égal à ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.
↑ Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée que dans l'atmosphère proche du sol.
↑ 130,0 et 130,1 Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que ainsi que n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.
↑ Compte-tenu des définitions de qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses et de qui dépend de la répartition des masses en volume, «» n’est en général pas dans le plan vertical contenant «».
↑ 132,0 et 132,1 Même si n’est pas dans le plan vertical contenant «», et sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe et on en déduit «» ainsi que «» où «» est le vecteur rotation instantanée au plan vertical contenant «».
↑ 133,0133,1133,2 et 133,3 Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant et en absence de vitesse initiale de hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est à , on en déduit que le vecteur vitesse doit être à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «» au plan vertical contenant ; étant comme solidaires du pendule, l'angle que fait avec la verticale descendante passant par est lié de façon unique à l'angle que fait avec cette même verticale descendante passant par , le lien le plus simple est de supposer que et c'est l'hypothèse que nous admettrons mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux, pour simplifier on a donc représenté sur le support de .
↑ En effet la base sphérique liée à étant orthonormée directe c'est-à-dire utilisant, dans un espace orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » on a «» d'une part et d'autre part «» étant l'angle entre et angle , les angles du plan méridien étant orientés par selon la règle du tire-bouchon de Maxwell tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ; James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ En effet se réécrit en base cylindro-polaire liée à sachant que soit l'expression finale donnée.
↑ En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où la réécriture du 1er terme après mise en facteur par selon , celle du 2ème terme après la même mise en facteur par donnant ou, avec , .
↑ et étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant reste la même que celle à l'instant initial.
↑ La constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « 20 », « 21 » et « 22 » plus haut dans le chapitre
↑ 143,0 et 143,1 Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « pendule pesant simple (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur revoir le paragraphe « en complément, mise en équation du P.P.S.A. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe étant celui du point matériel de masse situé à la distance de soit «», le C.D.I. étant confondu avec soit «» et le point confondu avec d'où «» l’équation différentielle en du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors
«»
ce qui donne bien, après simplification évidente, «».
↑ Il convient bien sûr de remplacer par dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..
↑ Le moment vectoriel de relativement à étant nul car central c'est-à-dire à d'où ; on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de relativement à en effet, dans la mesure où la direction de coupe l’axe , le bras de levier de est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant finie par le bras de levier de la force, on en déduit d'où .
↑ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique mais non toléré en mathématiques consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, étant la valeur de la fonction composante radiale du vecteur tension du fil de la variable composée avec la fonction loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable est identifié, en physique, à mais cette même valeur serait notée en mathématiques ou faisant la distinction entre la fonction de la variable et de la variable ; cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.
↑ Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type c'est-à-dire que est .
↑ En effet la fonction étant -périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de , par exemple, en supposant , la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit ou car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de à et, en supposant , elle se réécrit ou car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de à ou encore .
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad3ffc88399e77946910eb87c77e2259b1247ea)
={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {g}}={\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{r_{G}}(t)\wedge m\;{\vec {g}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780f40f647833ef7c3f047669dbab2efd17c16e4)
![{\displaystyle \sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho _{G}}(t)+\cos \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fa9ecc4487c69ceb18bcd2c4240f9833cee363)
={\mathfrak {a}}\,\left\lbrace \sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho _{G}}(t)+\cos \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \wedge m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09daf60642ed7baf15b4f8c778f546a592bc3df2)
=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2765c99dcfa5903a8ae268f6850fa5cc69972aa4)
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho _{G}}(t)\wedge m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;{\cancel {+\;{\mathfrak {a}}\;\cos \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\wedge m\;g\;{\vec {u}}_{z}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d71cb5987526785e1831e16401ffff0a3d99582)
![{\displaystyle -m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6344377143c1e454263e30f1cd55fe4a2b0cb60)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5fd098210ebbb24b98adc7a7e1b34e42187e28)
![{\displaystyle \;{\vec {R}}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bcffbe56d5ad197cd8f3ad1b8030bc2a74cc58b)
![{\displaystyle \;\rho _{G}(t_{\text{éq stable}})=0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e2129cb67fdc6176d094d28f4747723fbb032d)
![{\displaystyle \;a_{\varphi _{G},\,G}(t)={\dfrac {1}{\rho _{G}(t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho _{G}^{2}\,{\dot {\varphi _{G}}}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7695f399a17a5b7c26762d75978c4d46092a70b7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\rho _{G}^{2}\,{\dot {\varphi _{G}}}\right]}{dt}}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f819d36f178b4723d39cef023f09ddceb23aabb8)
![{\displaystyle \;\rho _{G}(t)={\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa555a7be8051ccd3cb145b7feefbec8bb2f1bd)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {g}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a54e34ca9eb3fc1f57d81c0bb4b850a4292d43f)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1821a1b5814fb31472df907d6fbeef6716c120)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d9062d778d24a3df087fd45b1c7758f0534a28)
+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e2b55a7b4bc103c354bcd37680fcc06afae8bb)
+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\overline {\Gamma _{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}},}}}_{\Delta _{O}}=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3343aa0779d9106c61ccb0ca6a0894ae76664e21)
![{\displaystyle \;-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0358f17ece89718eb828753f0a166016b4366873)
![{\displaystyle \;-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0+0=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265021a5d6f192a3508674584df51cdf97fee01a)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa73792de983203a7fe65cf172e1d793530bab7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k\;\sin \!\left[f(x)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bf2abf49cc0502bdf2607a967c459749152420)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffd1e382f4ea89fd544eb75abda3c2581c33036)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2289354a84e2c2cc1850ef339dc3409d3b7f8ac2)
![{\displaystyle \;{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ec16667d6ba80a1501d6781901c6c2720b389f)
![{\displaystyle \;-{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e069d65dc848d93c3538b49bb5ef38952069be)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}}{2}}-{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}^{2}}{2}}-{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\cos(\theta _{0})=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfe705f31fb0a8a70f3729ad9626dfea9620756)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\,\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\cos(\theta _{0})\quad \left({\mathfrak {1}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c679d0c92fe278bf73d0d6b78a1cca62d8bde2)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\,\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7b61c1db4cd548184df564b9ded31fe1e572fd)
![{\displaystyle \;-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ca2b307fb42a1f41eb0b14d0d8a8c2beb675ed)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\,\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abea477db93be9c5c25d970bbce9200d770c556)
![{\displaystyle \;m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d82d35fef0685e7f5bdd7bf86076d0cfc2168a)
![{\displaystyle \;m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822d4926cd46bc2293b823e69e023fddfe5fa6a6)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6464ec0fcc55b603c394a765518ad9a37aa9ba19)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\,\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e77b446fdf47b1864371222839390cfa9bbf5d)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\,\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb54edfe7d200fa5b4c5f56abf7895b774932e9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{O}}}{m\;g\;{\mathfrak {a}}}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f141a6975f8a1d63461005d8ae57217edc4da64)
![{\displaystyle \;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;{\mathfrak {a}}}}\right]=\arccos \!\left[\cos(\theta _{0})-{\dfrac {J_{\Delta _{O}}}{2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1903b87421b04f852703a4c43f561b9153e85fe)
![{\displaystyle \;\theta _{0}\in \left]-\pi \,,\,+\pi \right[{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f5c287145f98c8f58a2721d37bc8431ded6de4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\,\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce828940e65fa4e3d792028b79d14ad0f2aff13)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\,{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86a0407f090c3a884dce8a4e7f6b72103adc2b1)
![{\displaystyle \;\left]-\pi \,,\,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84e5b5d5aad9bb7ff9f5903dfcc0507a8fd3423)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \theta _{0}=-120\,{\text{°}}\;,\;{\dot {\theta }}_{0}={\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\simeq 3,13\,rad\cdot s^{-1}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be03800758cad4d1da39ec40d2f7848381fb92be)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \theta _{0}=-120\,{\text{°}}\;,\;{\dot {\theta }}_{0}=3,5\,rad\cdot s^{-1}>{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\simeq 3,13\,rad\cdot s^{-1}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79016e96fa1b1fb51fc609263a1a1c37b5674eb5)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff628e5f57b8a2dadade23768673f21a45d5094)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;{\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {du}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{m}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16839649e548cfcced4f26c6e7d8d2197b23ce4)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;y_{n}=\!\!\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[-P\,,\,P\right]\right]}b_{k}\;x_{n-k}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d10c1036e4e42beceed9d7cb8d0e299af7372c5)
![{\displaystyle \;\left[50\;s\;;\;60\;s\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e3f35fe2031dc4234a0fc6a2537ba4bc55067c)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;\Delta _{O}{\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf3f8c30ec29b781c6d7b840bf44ae1bf894abb)
![{\displaystyle \simeq 230\,{\text{°}}\cdot s^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5acb5c8f099b7bdf5e56a1d576fa9396e12b854)
![{\displaystyle \;\delta =\ln \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{\theta (t+{\mathcal {T}})}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87146286be6fa3a3507ede830253d23b1aa8682)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{n}}\;\ln \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{\theta (t+n\;{\mathcal {T}})}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575652fe90a5c23c769a835286a6db6a9d52096c)
![{\displaystyle \;\delta ={\dfrac {\mathcal {T}}{\tau }}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b3390cc69a9d75c7a5a570cc687705230992e5)
![{\displaystyle \simeq 40\,{\text{°}}\cdot s^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275585cba3dec71f859e72475d2559fa43d92d01)
![{\displaystyle \;\left\lbrace 0\,,\,0\right\rbrace {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb0191a163f53c897d3e56326cb3b77ef2c46a1)
![{\displaystyle \;\delta =\ln \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{\theta (t+{\mathcal {T}})}}\right]={\dfrac {1}{n}}\;\ln \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{\theta (t+n\;{\mathcal {T}})}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b8a605988ffa0c2c32bad1dee86afe575d6e6c)
=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a128a8eff7f199d1037ea7ddef6830082f4963)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{flu}}}={\overrightarrow {OI}}\wedge {\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\!{\text{flu}}}=-h\;{\overrightarrow {OI}}\wedge \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OI}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c205a83137b6bc0e2bf8e036c34d07a79ae44b)
![{\displaystyle =-h\left[{\overrightarrow {OI}}^{2}\;{\vec {\Omega }}-\left({\overrightarrow {OI}}\cdot {\vec {\Omega }}\right){\overrightarrow {OI}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7091a14b60e213da45a01689172ffaa07cf3a047)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{flu}}}=-h\;r_{I}^{2}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{G}\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}+{\dot {\varphi }}_{G}\left[{\vec {u}}_{z}-\cos(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{r_{G}}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce71ec9d4b6787175b291860c1555133565ec8c)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{flu}}}(t)=-H\;{\dot {\theta }}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}(t)-H\;{\dot {\varphi }}_{G}(t)\left\lbrace \sin ^{2}\!\left[\theta _{G}(t)\right]\;{\vec {u}}_{z}-\sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\;\cos \!\left[\theta _{G}(t)\right]\;{\vec {u}}_{\rho _{G}}(t)\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24ea1d8d82198b1fd3e09b5b7f1fccecae0ba32)
![{\displaystyle -h\left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OI}}\right]=-h\left[{\dot {\theta }}_{G}\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}+{\dot {\varphi }}_{G}\;{\vec {u}}_{z}\right]\wedge r_{I}\;{\vec {u}}_{r_{G}}=-h\;r_{I}\left[{\dot {\theta }}_{G}\;{\vec {u}}_{\theta _{G}}+{\dot {\varphi }}_{G}\;\sin(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cd37a43708e862910a8cc7991758d5b32d860e)
![{\displaystyle \;-h\;\rho _{I}(t)\;{\dot {\varphi }}_{G}(t)={\dfrac {m}{\rho _{G}(t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho _{G}^{2}\,{\dot {\varphi _{G}}}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61708585fbded161dedd5344983d2d9d7359bbe4)
![{\displaystyle \;-h\;{\dfrac {r_{I}}{\mathfrak {a}}}\;\rho _{G}^{2}(t)\;{\dot {\varphi }}_{G}(t)=m\;{\dfrac {d\!\left[\rho _{G}^{2}\,{\dot {\varphi _{G}}}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7eb4561279f78f753fd6bd88db6cb315eb4b6a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\rho _{G}^{2}\,{\dot {\varphi _{G}}}\right]}{dt}}(t)+{\dfrac {h\;r_{I}}{m\;{\mathfrak {a}}}}\left[\rho _{G}^{2}\,{\dot {\varphi _{G}}}\right](t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6951a36e8f01cb91121453577f71c5d6a96ab911)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\!{\text{flu}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{I}(t)\;{\overset {\cdots }{\,=\,}}-h\;r_{I}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta _{G}}(t)\;{\cancel {+\;{\dot {\varphi }}_{G}(t)\;\sin \!\left[\theta _{G}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\varphi _{G}}(t)}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d15bd4d46ae70d9a7ffe9fc0befe745542bd84)
![{\displaystyle ={\overrightarrow {OI}}(t)\wedge {\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\!{\text{flu}}}(t)\;{\overset {\cdots }{\,=\,}}-h\;r_{I}^{2}\left[{\dot {\theta }}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}\;{\cancel {+\;{\dot {\varphi }}_{G}(t)\left\lbrace {\vec {u}}_{z}-\cos \!\left[\theta _{G}(t)\right]{\vec {u}}_{r_{G}}(t)\right\rbrace }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4859fcbb6a72d79faa2e119b36d1c026e00096ba)
+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O},\,{\text{flu}}}(t)=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ff11e350c9e2d2b1a20563ca406082b6b56a95)
+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\overline {\Gamma _{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}},}}}_{\Delta _{O}}+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O},\,{\text{flu}}}(t)=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bed96e4faea7806754e6c82dfe03db63d357cc)
![{\displaystyle \;-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0-H\;{\dot {\theta }}(t)=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddc5cb41697921e80aabcec4ca153df3fb99e59)
![{\displaystyle \;-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0+0-H\;{\dot {\theta }}(t)b=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea6ef03ffbcaf8fb6b024cd4e6b131e9ca4c7b2)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{O}}}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c5bd15f1388e04343e557c3a6c12336fc09c47)
=\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {g}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419b2d4edb53e770605c3674100cbc484d7d52ff)
![{\displaystyle -m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7f47db9484879b8d89312e8c212546b48d775c)
=\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {T}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773a09bffed39bf740027ad670753a1af436dde1)
+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {T}}(t)\right]=J_{\Delta _{O}}(M)\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aebe1722d098048e6e5bd8adcf76e772e0f152)
![{\displaystyle \;-m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0=m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08242c608b16d33ce0a6e30351b8c2ab79f32b4)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{\mathit {l}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c644780ea0e2cde68573dc0c98c80b515466e8)
![{\displaystyle \;F\!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{\theta }(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ac3badb34bf7fe5516043daf5a071f494e88f7)
=J_{\Delta _{O}}(M)\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14212603c04ebd0bae514aa74d81c4e3d08a88c0)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(t)={\vec {T}}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}=-m\,\left\lbrace {\mathit {l}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5362b06f9b626258a81adbf77de1856b02c872cc)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;{\mathit {l}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fd4f87eed74ca96f9a7694ede4be245482dc87)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(t)={\vec {T}}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}=-m\;g\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;{\mathit {l}}}}-2+3\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c3e5a988ea70a9c2774801a53d5d5895f98d61)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,\theta _{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5221e066ea9117d754f9b6e4a229c58c376499b)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;{\mathit {l}}}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0e4f62fe8698167483fbe4814fc94fdfe7d424)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57bcdf5f70c880e81a5a749afafc8589690a77e)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5babfebb13bfca121f670a21897d8abf2a8790c0)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,+\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97787e7fdfda6c81e28c105f761277e943d9946)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(+\pi )<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2977e41447cd4a5be07609b916a86bd989104e96)
![{\displaystyle \arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;{\mathit {l}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dd466f6fee3f5cc37a4eb6713dadb1b6d23046)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdd4780a635cf50091ad48751b1510a9466017b)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9da6d88dab74743f07fea1800f73f259ef13da)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa4cd8974c7e3f3ae724685d1b718e37242566f)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1b60d818f8f506608157d5dd4dc651e717fb64)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(\theta _{m})<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c65b9948f5b818a66792681c2186a3c475cac3)
![{\displaystyle \;\vert \theta _{\text{détente}}\vert =\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;{\mathit {l}}}}\right]\,\in \left[{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839f40cc98307111b7e4170387290131384e6389)
) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et (
) pour la nouvelle Lune.
![{\displaystyle \;\left(OG\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b1f4f924ecad83007ced16b3f80055944a4fcc)
![{\displaystyle \;T_{x}=0\;\ldots {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709d6a3e829b9dda88df4b3c3cbcda1924277482)
![{\displaystyle \;R_{x}=0\;\ldots {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c265fe31fb8b7cec3f5325aaa81097c6719173c)
![{\displaystyle \Vert {\vec {V}}_{G}(0)\Vert \left[\cos(\theta _{0})\;{\vec {u}}_{\rho _{G}}(0)-\sin(\theta _{0})\;{\vec {u}}_{z}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde4aa937282712f5619b422e96c85e55df36371)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c3d7025b909a7ea0c2918eb8a91f6954ae68)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1769494d8d42f8aea3c3a41fb24fa69068a6be)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deac4e3df488688118aff79b121f81dadcb984f3)
=+\Vert m\;{\vec {g}}\Vert \;d=m\;g\;\left[-{\mathfrak {a}}\;\sin(\theta )\right]=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin(\theta )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe4eaf61241c403557542752dbdda807d61e85d)
![{\displaystyle \;d={\mathfrak {a}}\;\vert \sin(\theta )\vert =-{\mathfrak {a}}\;\sin(\theta ){\big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4272ad1c0b1634fee2d212a572566ee10f08eb)
![{\displaystyle \;d{\mathcal {V}}_{M}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bf54574cb9add355374ff89aff170851ab5c0d)
![{\displaystyle \;dS_{M}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cf2cbb90514abb21c48cbe9c1c911c7f04baa8)
![{\displaystyle \;d{\mathit {l}}_{M}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc780b5a89444c8375ae4753fdd37ecf57028bd8)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathit {l}}}{m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdce334032c851130ea68746f4e03bc384991cc)
![{\displaystyle \;{\sqrt {2}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80991c72bbb465ea702e5e9c1cda3a12868e23a0)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]=m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos(\theta _{m})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d2b90860453c40c157546b7e639260a371c7a8)
![{\displaystyle \;\vert {\dot {\theta }}(t)\vert ={\sqrt {{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta _{O}}}}-{\dfrac {2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}={\sqrt {{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta _{O}}}}-{\dfrac {4\;m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\sin ^{2}\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}=2\;{\sqrt {\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}}\;{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}}}-\sin ^{2}\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb7bba844c8d2d08d1c04c68a19596bf935a43b)
![{\displaystyle \;u=\arcsin \!\left[{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{m}}{2}}\right)}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dc32cc0336445720ea18530e59a462b4cfe706)
![{\displaystyle {\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f179fa3058bae27e8b4bb7aa7b060cdf6d862a)
![{\displaystyle \;2\,s{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eeb4b88f8e6f3c025093a997ea8d7e479ef1c75)
![{\displaystyle \pi {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f550d1241669fe82ff56f1f2686982746913418a)
![{\displaystyle \;b_{k}=0\;\;\forall \,k\,\in \,\left[\left[-P\,,\,P\right]\right]\backslash \left\lbrace 0\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cd4ef9a1b3ffb71b2a8133d26de632b822e8f6)
![{\displaystyle \;100\;Hz{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e7e4043c3e43f30dd6348a2cf4c92ae42f36d3)
![{\displaystyle \;1\;Hz{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f96b8443c6b5549d50be9dcb387decfee5db10d)
![{\displaystyle \;h(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0,54-0,46\;\cos \!\left(2\;\pi \;{\dfrac {t}{T}}\right)&{\text{ si }}t\,\in \,\left[0\,,\,T\right]\\0&{\text{ sinon}}\end{array}}\right.{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f34bccfcf54cfa763c38fed9684420ca25ff17)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
![{\displaystyle \;z\in \left]0\,,\,e\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc31ac0abdca882a471080504643b9d39bd739d)
![{\displaystyle \;1\,St=10^{-4}\,m^{2}\cdot s^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae736743e1975814ef637d7246c8b9c7188d332)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{flu}}}=-h\left\lbrace r_{I}^{2}\left[{\dot {\theta }}_{G}\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}+{\dot {\varphi }}_{G}\;{\vec {u}}_{z}\right]-r_{I}^{2}\;{\dot {\varphi }}_{G}\;\cos(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{r_{G}}\right\rbrace =-h\;r_{I}^{2}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{G}\;{\vec {u}}_{\varphi _{G}}+{\dot {\varphi }}_{G}\left[\sin ^{2}(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{z}-\sin(\theta _{G})\;\cos(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{\rho _{G}}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20334ee7fd3fe4c29c36e7700e0f0def0c6bd006)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}-\cos(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{r_{G}}=\left[1-\cos ^{2}(\theta _{G})\right]{\vec {u}}_{z}-\sin(\theta _{G})\;\cos(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{\rho _{G}}=\sin ^{2}(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{z}-\sin(\theta _{G})\;\cos(\theta _{G})\;{\vec {u}}_{\rho _{G}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1469431854954204cbb0111677ca6013247bf5)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h\;{\mathit {l}}^{\,2}}{m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathit {l}}}{m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a633f79f9c52c58b476a871b2a0d5d6b6b71b9f1)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{\mathit {l}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dad0bd912c527d41be4b51d85c6ba58cb48f1d)
={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {T}}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e59dc64a5b67dddb2a006edb0907cb72a9f02b)
={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {T}}\right](t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8dab60e7ee816cf6a59b489c0514fd1d729b74)
{\Big \vert }=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b635205029dc1f6489b6571211384eb99923770)
=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d65a1d0c9f77ff28818eb56f4349c0f8480d3d)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f3b067300b0c4ba1c95392684c5280dd165a7d)
![{\displaystyle \;\in \left]-\pi \,,\,+\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8c46ac9ecb2c4b65c67bf772934d9b29b97260)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=-m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin(\theta )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf670fbcaab6359525b5083a75679a10993919b)
![{\displaystyle \;f\!\left[g(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed8541cd03b4a2e5cd4eb4a89c4095348907605)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[\theta _{0}\,,\,\theta _{0}+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bea602f4e1f2471d4a376160ffd83c717fe24b)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed9afb2a4220778f19a8f2578d3c7c739266b43)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,+\pi \right]{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8317fedc0c4e9344c0579377d7521ac31c119958)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[\theta _{0}-\pi \,,\,\theta _{0}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04cdd7b88297376cfbbdfc54dc29921e3431be6)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,0\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b3ec578a8a447d43785ddcf8999db536173074)
![{\displaystyle \;\left[-\pi \,,\,0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff5634e41ae834a839bfa7b6f8c3eb3a888be60)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,+\pi \right]{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f77aff43d4343e07b09634ba48daaa11158877d)
